論文專著：
發(fā)表論文 80余篇、專著8部、譯著4部。 
出版專著：
1． 《數(shù)學(xué)的進(jìn)化》科學(xué)出版社 2006
2． 《數(shù)學(xué)史教程》高等教育出版社，斯普林格出版社 2000
3． 《數(shù)學(xué)史概論》高等教育出版社 第二版2002，第三版2011，繁體字本（九章出版社 2003）
4． 《數(shù)學(xué)珍寶—數(shù)學(xué)歷史文獻(xiàn)精選》 科學(xué)出版社 1998、 九章出版社(繁體字本) 2000
5． 《文明之光--圖說(shuō)數(shù)學(xué)史》 山東教育出版社 2005
6． 《數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)機(jī)械化》，林東岱，李文林，虞言林主編， 山東教育出版杜 2001
發(fā)表中英論文：：
1. 希爾伯特?cái)?shù)學(xué)問(wèn)題及其解決簡(jiǎn)況 李文林; 袁向東 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所; 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 【期刊】數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) 1981-10-01
2. 格廷根的數(shù)學(xué)傳統(tǒng) 袁向東; 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所; 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 【期刊】自然科學(xué)史研究 1982-12-31
3. 劍橋分析學(xué)派 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 【期刊】科學(xué)、技術(shù)與辯證法 1985-03-02
4. 西方數(shù)學(xué)社會(huì)史研究述評(píng) 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 【期刊】自然辯證法通訊 1985-06-30
5. 算法、演繹傾向與數(shù)學(xué)史的分期 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 【期刊】自然辯證法通訊 1986-05-01
6. 法國(guó)大革命與數(shù)學(xué) 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 【期刊】科學(xué)、技術(shù)與辯證法 1986-05-01
7. 希爾伯特與統(tǒng)一場(chǎng)論 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 【期刊】自然科學(xué)史研究 1986-07-02
8. 關(guān)于牛頓制定微積分若干史實(shí)的注記 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 【期刊】自然科學(xué)史研究 1989-05-15
9. 關(guān)于華羅庚的第一篇數(shù)學(xué)論文 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 【期刊】中國(guó)科技史料 1989-06-30
10. 紀(jì)念數(shù)學(xué)家吳新謀教授 李文林; 陸柱家 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)所; 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)所 【期刊】數(shù)學(xué)進(jìn)展 1990-08-29
11. 1949—1990年中國(guó)學(xué)者在國(guó)外出版的數(shù)學(xué)著作 李文林; 馮雷 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所; 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 【期刊】中國(guó)科技史料 1991-05-01
12. 笛卡兒《幾何學(xué)》的機(jī)械化特征 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 北京 【期刊】自然科學(xué)史研究 1993-10-01
13. 評(píng)譯華羅庚致維諾格拉多夫的幾封信 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 【期刊】中國(guó)科技史料 1994-03-30
14. 歷史上的數(shù)學(xué)學(xué)派──理論初析 高嶸; 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 【期刊】自然科學(xué)史研究 1998-07-20
15. Apercu sur les échanges mathematiques entre la Chine et la France(1880--1949), Wenlin Li, Jean-Claude Martzloff【J．】“Archive for History of Exact Sciences”Vol. 53, No. 3/4, pp. 181-200(1998). Springer.(with )
16. Mathematical Exchanges Between China and Korea, Wenlin Li, Xu Zelin and Feng Lisheng, 【J．】“Historia Scientiarum”, The History of Science Society of Japan, Vol.9-1（1999）.
17. 古為今用的典范——吳文俊教授的中國(guó)數(shù)學(xué)史研究 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)所 【期刊】北京教育學(xué)院學(xué)報(bào) 2001-06-15
18. 中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展及其影響，“中國(guó)科學(xué)院院刊”，Vol.20, No.1, pp. 31-36, (2005)；
19. On the Algorithmic Spirit of Ancient Chinese and Indian Mathematics，Wenlin Li 【J．】Ganita Bharati, Vol. 28, No.1/2, pp.39-49,MD Publications pvt. Ltd. New Delhi(2006)
20. 讀《陳省身傳》有感——紀(jì)念陳省身先生逝世一周年 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 北京 【期刊】高等數(shù)學(xué)研究 2006-01-30
21. 公理化的歷史發(fā)展 馮曉華; 李文林 西北大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)史研究中心; 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 陜西西安; 山西大學(xué)科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究中心; 山西太原 【期刊】太原理工大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版) 2006-06-30
22. 數(shù)學(xué)與思維機(jī)械化之路 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 北京 【期刊】太原理工大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版) 2006-09-30
23. 穩(wěn)步前進(jìn)，構(gòu)建具有中國(guó)特色、和諧有度的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育體系，“數(shù)學(xué)通報(bào)”，Vol.46,No.5,pp.12-16, (2007) ；
24. 形式符號(hào)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)論價(jià)值， 張廣祥，李文林 “數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)”，Vol.16,No.4,pp.5-8, (2007)；
25. “三位一體”的科學(xué)史 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院數(shù)學(xué)研究所 北京 【期刊】中國(guó)科技史雜志 2007-12-15
26. “數(shù)學(xué)課程改革中的傳統(tǒng)性與時(shí)代性——在第四屆世界華人數(shù)學(xué)家大會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育論壇上的發(fā)言”“數(shù)學(xué)通報(bào)”，Vol.47,No.1,pp.-, (2008)
27. 藝術(shù)發(fā)展的文化激素—數(shù)學(xué)與藝術(shù)芻議，“中國(guó)藝術(shù)教育”，2008-2，pp.110-112。
28. 中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)第一次名詞審定 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 【期刊】中國(guó)科技術(shù)語(yǔ) 2009-02-25
29. 古為今用、自主創(chuàng)新的典范——吳文俊院士的數(shù)學(xué)史研究 李文林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 【期刊】?jī)?nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版) 2009-09-15
30. 貝爾特拉米微分參數(shù)的歷史作用 黃勇; 李文林 太原科技大學(xué)哲學(xué)研究所; 西北大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)史研究中心; 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究所 【期刊】數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) 2010-03-23
31. “研而優(yōu)則仕”危害創(chuàng)新甚大 李邦河; 李文林; 孫慶華 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院; 山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 【期刊】科學(xué)文化評(píng)論 2010-06-10
32. 新中國(guó)偏微分方程事業(yè)的奠基人—紀(jì)念吳新謀教授誕生100周年 李文林; 陸柱家 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 【期刊】數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào) 2010-10-15
33. 學(xué)一點(diǎn)數(shù)學(xué)史—談?wù)勚袑W(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)史修養(yǎng)， “數(shù)學(xué)通報(bào)”, Vol.50，No. 4, pp. 1-5, No. 5, pp. 1-7,20， (2011)。
34. Jacques Hadamard China, 【J．】 Notices of the ICCM, Vol.2, No2. pp.69-74, 2015.
媒體報(bào)道（一）：
中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院的研究員：李文林
主持人：今天我們請(qǐng)來(lái)了數(shù)學(xué)專家介紹數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)背景和就業(yè)前景�，F(xiàn)在要給各位做一個(gè)介紹，此刻坐在我身邊的就是中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院的研究員李文林先生，歡迎您。
李文林：觀眾朋友大家好。
主持人：歡迎您來(lái)到我們節(jié)目當(dāng)中，我們要和李文林先生聊一聊和數(shù)學(xué)有關(guān)的話題，今天我們談的都是數(shù)學(xué)專業(yè)的情況，我想請(qǐng)教您，您在當(dāng)時(shí)考大學(xué)的時(shí)候是不是真的就一門(mén)心思就想學(xué)數(shù)學(xué)。
李文林：我這個(gè)情況有點(diǎn)波折，我第一志愿填報(bào)的是中國(guó)科技大學(xué)的近代物理系，當(dāng)年可能是因?yàn)榭歼@個(gè)學(xué)校這個(gè)系的人數(shù)比較多，也可能因?yàn)槲业母呖汲煽?jī)數(shù)學(xué)比較突出，我最終被錄取在中國(guó)科大的數(shù)學(xué)系。因?yàn)槲冶緛?lái)對(duì)數(shù)學(xué)就很感興趣，所以在科技大學(xué)數(shù)學(xué)系這樣一個(gè)良好的數(shù)學(xué)環(huán)境下面，我很快就進(jìn)一步了解、提高了對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)。
主持人：當(dāng)時(shí)華羅庚是不是你們的系主任？
李文林：我們的系主任。
主持人：那個(gè)時(shí)候你心里面崇拜他嗎？
李文林：那當(dāng)然，因?yàn)槿A羅庚是全世界著名的數(shù)學(xué)家，而且華羅庚是江蘇金壇人，是老鄉(xiāng)，當(dāng)然是比較崇拜的。
主持人：后來(lái)一生都和數(shù)學(xué)研究結(jié)緣在一起，會(huì)不會(huì)跟當(dāng)時(shí)學(xué)校的整個(gè)氛圍，包括和很多知名的數(shù)學(xué)家當(dāng)導(dǎo)師息息相關(guān)。
李文林：當(dāng)時(shí)有一個(gè)很好的條件就是中科院有很多數(shù)學(xué)家親自到科大去授課，比如說(shuō)華羅庚教授等等都是親自到數(shù)學(xué)系給我們上課。
主持人：我想很多電視機(jī)前的觀眾朋友和我一樣好奇，我們數(shù)學(xué)系都學(xué)些什么，我們?cè)谥袑W(xué)接觸過(guò)幾何、代數(shù)，大學(xué)里可能有微積分、概率等等，如果繼續(xù)學(xué)的話究竟還可以去學(xué)什么樣的內(nèi)容。
李文林：數(shù)學(xué)經(jīng)過(guò)兩千多年的發(fā)展已經(jīng)是一棵根深葉茂的大樹(shù)，在高層學(xué)校里還是學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，打基礎(chǔ)。在我們那時(shí)候我們要學(xué)微積分，要進(jìn)一步的系統(tǒng)的深入學(xué)習(xí)微積分，還有線性代數(shù)，還有概論，拓?fù)�、函�?shù)、方程、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、計(jì)算方法等等。有的學(xué)�？赡苓�要開(kāi)一些抽象代數(shù)等等。
主持人：對(duì)于我們這些非數(shù)學(xué)專業(yè)的人來(lái)說(shuō)，聽(tīng)著您剛才介紹的學(xué)科門(mén)類(lèi)都覺(jué)得非常的新鮮，那學(xué)了那么多門(mén)課現(xiàn)在回過(guò)頭來(lái)看您覺(jué)得在大學(xué)期間的哪一門(mén)課會(huì)讓您終身受益無(wú)窮，對(duì)未來(lái)的研究工作十分有幫助。
李文林：當(dāng)時(shí)在科大吳院士給我們這個(gè)班親自講授微積分，也叫數(shù)學(xué)分析，這個(gè)課講了三年，我想這個(gè)課程對(duì)于奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維對(duì)我們來(lái)講都是有決定性意義。當(dāng)然還有一些其他的課程也是終身受益的，比如說(shuō)華羅庚教授還給我們開(kāi)了一個(gè)函數(shù)論，像應(yīng)老師給我們講的函數(shù)論，誠(chéng)院士給我們講的概論這些課程對(duì)我們來(lái)講都是終身受益。
主持人：學(xué)完了大學(xué)本科四年有沒(méi)有考慮過(guò)自己未來(lái)向什么方向去發(fā)展？
李文林：當(dāng)時(shí)我想我個(gè)人希望有機(jī)會(huì)從事數(shù)學(xué)研究。
主持人：那個(gè)時(shí)候已經(jīng)是很堅(jiān)定的信念。
李文林：談不上很堅(jiān)定，但是也是比較堅(jiān)定的意向。
主持人：后來(lái)有沒(méi)有如愿以償。
李文林：后來(lái)我大學(xué)畢業(yè)直接分配到中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所，應(yīng)該說(shuō)在這個(gè)道路上在畢業(yè)以后就能夠如愿以償。
主持人：在前面短片當(dāng)中我們看到其實(shí)學(xué)數(shù)學(xué)的人在未來(lái)改行的人還不在少數(shù)，當(dāng)時(shí)您有沒(méi)有想過(guò)改行干別的。
李文林：我想數(shù)學(xué)既是一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科又是一個(gè)工具，我覺(jué)得學(xué)好數(shù)學(xué)也可以到別的行業(yè)施展伸手，不過(guò)當(dāng)時(shí)我大學(xué)畢業(yè)科大數(shù)學(xué)系對(duì)基礎(chǔ)培養(yǎng)這方面的考慮還是比較強(qiáng)烈，我們這些學(xué)生當(dāng)時(shí)都希望能夠直接從事數(shù)學(xué)研究，當(dāng)然這些也包括應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究。
主持人：很多人都說(shuō)數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科，學(xué)完了以后可能會(huì)影響未來(lái)職業(yè)的選擇，你認(rèn)同他們的這種說(shuō)法嗎？
李文林：我認(rèn)為這個(gè)看法是對(duì)的，因?yàn)閿?shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)科學(xué)不僅僅是自然科學(xué)跟技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在人文科學(xué)跟社會(huì)科學(xué)上現(xiàn)在也越來(lái)越廣泛的應(yīng)用數(shù)學(xué)。在大學(xué)里學(xué)了數(shù)學(xué)畢業(yè)以后可以選擇的空間比較大，而且就業(yè)面也是比較寬的。
主持人：一般會(huì)有什么樣的選擇？
李文林：首先當(dāng)然是到不同科研機(jī)構(gòu)里從事數(shù)學(xué)跟數(shù)學(xué)應(yīng)用的研究，另外像信息技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、金融、管理，甚至包括氣象這樣的一些部門(mén)，據(jù)我了解還有國(guó)防的高新技術(shù)部門(mén)，數(shù)學(xué)的專業(yè)人才都是大有可為，很有用武之地的。我可以舉些例子，我們剛才講到的經(jīng)濟(jì)、金融，我們研究院王院士是搞數(shù)論的，他有一個(gè)學(xué)生到的美國(guó)，后來(lái)給他寫(xiě)信說(shuō)在美國(guó)是搞金融，在華爾街搞得非常成功，我想他原來(lái)是學(xué)數(shù)學(xué)的，我們的王選院士是信息技術(shù)方面，但是他是北大數(shù)學(xué)系出身的。我是六十年代到數(shù)學(xué)所，在五十年代曾經(jīng)有很多學(xué)數(shù)學(xué)的人轉(zhuǎn)行到國(guó)防部門(mén)，像導(dǎo)彈、衛(wèi)星、核武器這些研究，我們數(shù)學(xué)輸出過(guò)很多數(shù)學(xué)家到他們那去從事開(kāi)發(fā)，技術(shù)的研究，而且做出了成就。
主持人：還是應(yīng)驗(yàn)了原來(lái)那句老話學(xué)好數(shù)理化走遍天下都不怕，我們看到您一生都和數(shù)學(xué)打交道，肯定發(fā)現(xiàn)了別人感受不到的魅力，您覺(jué)得研究數(shù)學(xué)最大的樂(lè)趣是什么？
李文林：我想從數(shù)學(xué)是什么說(shuō)起，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，簡(jiǎn)而言之就是數(shù)和形，可謂說(shuō)是無(wú)處不在，數(shù)學(xué)跟我們的整個(gè)科學(xué)技術(shù)發(fā)展息息相關(guān)，而且數(shù)學(xué)跟我們的生活也息息相關(guān)。比方說(shuō)我們要看病，給我們做醫(yī)療診斷的儀器，可以說(shuō)沒(méi)有數(shù)學(xué)就沒(méi)有CT儀。我們每天關(guān)注天氣預(yù)報(bào)，現(xiàn)在很大程度上依靠數(shù)學(xué)的計(jì)算，我想數(shù)學(xué)的用處是非常廣泛。正因?yàn)閿?shù)學(xué)研究數(shù)理形，千變?nèi)f化的數(shù)理形使得數(shù)學(xué)研究本身變得魅力無(wú)窮。我可以這么比方，數(shù)學(xué)就像是有一個(gè)抽象的圍墻的花園，如果你站到外面看有的時(shí)候你會(huì)覺(jué)得它有一點(diǎn)抽象，有一點(diǎn)深?yuàn)W，甚至有時(shí)候覺(jué)得有點(diǎn)枯燥，但是只要你走進(jìn)這個(gè)門(mén)，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的花園是百花齊放，百花爭(zhēng)艷，而且是氣象萬(wàn)千。我們聽(tīng)到的很多問(wèn)題像什么疑難猜想都是數(shù)學(xué)花園里的奇葩。另外，我想數(shù)學(xué)不僅是大有用處，而且數(shù)學(xué)研究本身我想就是一種藝術(shù)，這個(gè)藝術(shù)就是數(shù)跟形的藝術(shù)，畫(huà)家是畫(huà)畫(huà)，音樂(lè)家是作曲，但是數(shù)學(xué)家是研究數(shù)跟形的藝術(shù)，我想這個(gè)是其樂(lè)無(wú)窮。
主持人：看了您的笑容就知道真的是其樂(lè)無(wú)窮，剛才您提到了龐加萊猜想，我想在剛剛過(guò)去的六月份應(yīng)該是讓我們對(duì)數(shù)學(xué)界印象非常深的申請(qǐng)，那就是曹懷東教授和中山大學(xué)的朱熹平教授告訴世人，說(shuō)我們已經(jīng)破解了百年數(shù)學(xué)難題龐加萊猜想，我記得在我很小的時(shí)候讀過(guò)徐馳的報(bào)告文學(xué)，哥德巴赫猜想，當(dāng)時(shí)把它說(shuō)成是數(shù)學(xué)王冠上的一顆明珠，那么龐加萊猜想是不是同樣也是一顆閃閃發(fā)光的明珠。
李文林：龐加萊猜想是在二十一世紀(jì)初的時(shí)候被美國(guó)的克萊研究所確定為七大數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)全世界數(shù)學(xué)家來(lái)懸獎(jiǎng)的，龐加萊猜想是其中一個(gè)，就說(shuō)明這個(gè)猜想的意義和重要性。
主持人：在六月份其實(shí)還有一件和數(shù)學(xué)有關(guān)的事情，就是吳文俊院士獲得了邵逸夫獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)，當(dāng)越來(lái)越多的中國(guó)人身影出現(xiàn)在解決數(shù)學(xué)皇冠上明珠難題的過(guò)程當(dāng)中，您對(duì)這些希望報(bào)考數(shù)學(xué)專業(yè)的考生有沒(méi)有什么特別深切的期望和期待。
李文林：我想中國(guó)人民是擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)的一個(gè)民族，中國(guó)古代有很優(yōu)秀的悠久的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，到了名朝以后我們的數(shù)學(xué)落后了，但是在上一個(gè)世紀(jì)初開(kāi)始我們中國(guó)的幾代數(shù)學(xué)家都在努力的拼搏奮斗，希望趕超世界先進(jìn)水平，那么特別是到了上個(gè)世紀(jì)九十年代以后，由于中國(guó)的改革開(kāi)放，中國(guó)數(shù)學(xué)家通過(guò)走出去請(qǐng)進(jìn)來(lái)，在趕超世界數(shù)學(xué)先進(jìn)水平的道路上取得了相當(dāng)大的進(jìn)步，比方你剛才說(shuō)到的陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想上的貢獻(xiàn)四十年到現(xiàn)在還沒(méi)有人能夠超越，我想中國(guó)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科很難去精確的預(yù)測(cè)具體成果，但是有一點(diǎn)可以樂(lè)觀的估計(jì)到就是中國(guó)數(shù)學(xué)家在不愿的將來(lái)實(shí)現(xiàn)把我們中國(guó)建成數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)這樣一個(gè)宏偉目標(biāo)。我覺(jué)得我們年輕的學(xué)生如果能夠有幸成為這個(gè)光榮科學(xué)隊(duì)伍里的一員，我覺(jué)得這是驕傲的。
主持人：我想這是大家共同的期待，也讓我們大家為這個(gè)目標(biāo)共同努力，特別感謝李先生來(lái)到我們直播現(xiàn)場(chǎng)。
文章來(lái)源：《央視國(guó)際 www.cctv.com》2006年07月05日
媒體報(bào)道（二）：
追尋數(shù)學(xué)大國(guó)的歷史脈絡(luò)——數(shù)學(xué)史專家李文林談中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展
有位著名的數(shù)學(xué)家說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)不僅是一種方法、一門(mén)藝術(shù)或一種語(yǔ)言，數(shù)學(xué)更主要是一門(mén)有著豐富內(nèi)容的知識(shí)體系，其內(nèi)容對(duì)自然科學(xué)家、社會(huì)科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家都有著深遠(yuǎn)的影響”。
對(duì)于數(shù)學(xué)史有著深厚研究的中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員李文林認(rèn)為，數(shù)學(xué)已經(jīng)廣泛地影響著人類(lèi)的生活和思想，是形成現(xiàn)代文化的主要力量。因而，數(shù)學(xué)史是人類(lèi)文明史最重要的組成部分。
近年來(lái)，李文林研究員執(zhí)著地在中國(guó)數(shù)學(xué)史領(lǐng)域求索，曾發(fā)表過(guò)大量關(guān)于數(shù)學(xué)史的研究論文。他專門(mén)為大學(xué)學(xué)生撰寫(xiě)的《數(shù)學(xué)史教程》，被廣泛地應(yīng)用于大學(xué)數(shù)學(xué)史學(xué)科的教學(xué)。他是上一屆中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)史分會(huì)的秘書(shū)長(zhǎng)。
不久前，李文林研究員還參與了一項(xiàng)重要的研究工作。中國(guó)首屆國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)獲得者、著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生設(shè)立了“數(shù)學(xué)與天文絲路基金”，用于資助年輕學(xué)者研究古代中國(guó)與世界進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的歷史，揭示部分東方數(shù)學(xué)成果如何從中國(guó)經(jīng)“絲綢之路”傳往歐洲之謎。該研究旨在糾正世界科技界對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)上存在的偏頗，通過(guò)對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)遺產(chǎn)的進(jìn)一步發(fā)掘，探明近代科學(xué)的源流，鼓舞中國(guó)人在數(shù)學(xué)研究上的自信心和發(fā)憤圖強(qiáng)的勇氣。李文林作為該學(xué)術(shù)委員會(huì)組長(zhǎng)參與了很多工作。
日前，本報(bào)記者采訪了李文林研究員。李文林把中國(guó)數(shù)學(xué)史稱為波瀾壯闊的中華文明史中最亮麗的篇章。在李文林的娓娓敘述中，中國(guó)數(shù)學(xué)對(duì)于世界的卓越貢獻(xiàn)，如盛開(kāi)著的中國(guó)文明之花，一朵朵展現(xiàn)開(kāi)來(lái)。
古代數(shù)學(xué)領(lǐng)跑世界
中國(guó)數(shù)學(xué)有著悠久的歷史，14世紀(jì)以前一直是世界上數(shù)學(xué)最為發(fā)達(dá)的國(guó)家，出現(xiàn)過(guò)許多杰出數(shù)學(xué)家，取得了很多輝煌成就。
中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展，在古代著作《世本》中就已提到黃帝使“隸首作算數(shù)”，但這只是傳說(shuō)。在殷商甲骨文記錄中，中國(guó)已經(jīng)使用完整的十進(jìn)制記數(shù)。至遲到春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，又開(kāi)始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)位制籌算記數(shù)。籌算作為中國(guó)古代的計(jì)算工具，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)人類(lèi)文明的特殊貢獻(xiàn)。
關(guān)于幾何學(xué)，《史記》“夏本紀(jì)”記載說(shuō)：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”。“規(guī)”是圓規(guī)，“矩”是直角尺，“準(zhǔn)繩”則是確定鉛垂方向的器械。這些都說(shuō)明了早期幾何學(xué)的應(yīng)用。從戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的著作《考工記》中也可以看到與手工業(yè)制作有關(guān)的實(shí)用幾何知識(shí)。
戰(zhàn)國(guó)(公元前475年～前221年)諸子百家與希臘雅典學(xué)派時(shí)代相當(dāng)。“百家”就是多種不同的學(xué)派，其中的“墨家”與“名家”，其著作包含有理論數(shù)學(xué)的萌芽。如《墨經(jīng)》(約公元前4世紀(jì)著作)中討論了某些形式邏輯的法則，并在此基礎(chǔ)上提出了一系列數(shù)學(xué)概念的抽象定義。
在現(xiàn)存的中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中，《周髀算經(jīng)》是最早的一部�！吨荀滤憬�(jīng)》成書(shū)年代據(jù)考應(yīng)不晚于公元前2世紀(jì)西漢時(shí)期，但書(shū)中涉及的數(shù)學(xué)、天文知識(shí)，有的可以追溯到西周(公元前11世紀(jì)～前8世紀(jì))。從數(shù)學(xué)上看，《周髀算經(jīng)》主要的成就是分?jǐn)?shù)運(yùn)算、勾股定理及其在天文測(cè)量中的應(yīng)用，其中關(guān)于勾股定理的論述最為突出。
《九章算術(shù)》是中國(guó)古典數(shù)學(xué)最重要的著作。這部著作的成書(shū)年代，根據(jù)考證，至遲在公元前1世紀(jì)，但其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代�！吨芏Y》記載西周貴族子弟必學(xué)的六門(mén)課程“六藝”中有一門(mén)是“九數(shù)”。劉徽《九章算術(shù)注》“序”中就稱《九章算術(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來(lái)，并經(jīng)過(guò)西漢張蒼、耿壽昌等人刪補(bǔ)。
《九章算術(shù)》采用問(wèn)題集的形式，全書(shū)246個(gè)問(wèn)題，分成九章，依次為：方田，粟米，衰分，少?gòu)V，商功，均輸，盈不足，方程，勾股。其中所包含的數(shù)學(xué)成就是豐富和多方面的。算術(shù)方面，“方田”章給出了完整的分?jǐn)?shù)加、減、乘、除以及約分和通分運(yùn)算法則，“粟米”、“衰分”、“均輸”諸章集中討論比例問(wèn)題，“盈不足”術(shù)是以盈虧類(lèi)問(wèn)題為原型，通過(guò)兩次假設(shè)來(lái)求繁難算術(shù)問(wèn)題的解的方法。代數(shù)方面，《九章算術(shù)》的成就是具有世界意義的，“方程術(shù)”即線性聯(lián)立方程組的解法；“正負(fù)術(shù)”是《九章算術(shù)》在代數(shù)方面的另一項(xiàng)突出貢獻(xiàn)，即負(fù)數(shù)的引進(jìn)；“開(kāi)方術(shù)”即“少?gòu)V”章的“開(kāi)方術(shù)”和“開(kāi)立方術(shù)”，給出了開(kāi)平方和開(kāi)立方的算法；在幾何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問(wèn)題，其中“方田”章討論面積計(jì)算，“商功”章討論體積計(jì)算，“勾股”章則是關(guān)于勾股定理的應(yīng)用。
《九章算術(shù)》的幾何部分主要是實(shí)用幾何。但稍后的魏晉南北朝，卻出現(xiàn)了證明《九章算術(shù)》中那些算法的努力，從而引發(fā)了中國(guó)古典幾何中最閃亮的篇章。
從公元220年?yáng)|漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國(guó)歷史上的動(dòng)蕩時(shí)期，但同時(shí)也是思想相對(duì)活躍的時(shí)期。在長(zhǎng)期獨(dú)尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辯之風(fēng)再起。在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢(shì)，許多研究以注釋《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是要尋求這兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。這方面的先鋒，最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。他們的工作，使魏晉南北朝成為中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)獨(dú)特而豐產(chǎn)的時(shí)期。
《隋書(shū)》“律歷志”中提到“魏陳留王景元四年劉徽注九章”，由此知道劉徽是公元3世紀(jì)魏晉時(shí)人，并于公元263年撰《九章算術(shù)注》�！毒耪滤阈g(shù)注》包含了劉徽本人的許多創(chuàng)造，完全可以看成是獨(dú)立的著作，奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國(guó)數(shù)學(xué)史上的不朽地位。
劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”和體積理論。劉徽在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”注中，提出割圓術(shù)作為計(jì)算圓的周長(zhǎng)、面積以及圓周率的基礎(chǔ)，使劉徽成為中算史上第一位建立可靠的理論來(lái)推算圓周率的數(shù)學(xué)家。在體積理論方面，像阿基米德一樣，劉徽傾力于面積與體積公式的推證，并取得了超越時(shí)代的成果。
劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，到南北朝時(shí)期被祖沖之和他的兒子推進(jìn)和發(fā)展了。
祖沖之(公元429年—500年)活躍于南朝宋、齊兩代，曾做過(guò)南徐州(今鎮(zhèn)江)從事史和公府參軍，都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。《南齊史》“祖沖之傳”說(shuō)他“探異今古”，“革新變舊”。
球體積的推導(dǎo)和圓周率的計(jì)算是祖沖之引以為榮的兩大數(shù)學(xué)成就。祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn)記載在《隋書(shū)》中。祖沖之算出了圓周率數(shù)值的上下限：3.1415926<π<3.1415927。祖沖之和他兒子關(guān)于球體積的推導(dǎo)被稱之為“祖氏原理”。祖氏原理在西方文獻(xiàn)中稱“卡瓦列利原理”，1635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利(B.Cavalieri)獨(dú)立提出，對(duì)微積分的建立有重要影響。
之后的大唐盛世是中國(guó)封建社會(huì)最繁榮的時(shí)代，可是在數(shù)學(xué)方面，整個(gè)唐代卻沒(méi)有產(chǎn)生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時(shí)期相媲美的數(shù)學(xué)大家。
中國(guó)古典數(shù)學(xué)的下一個(gè)高潮宋元數(shù)學(xué)，是創(chuàng)造算法的英雄時(shí)代。
到了宋代，雕版印書(shū)的發(fā)達(dá)特別是活字印刷的發(fā)明，則給數(shù)學(xué)著作的保存與流傳帶來(lái)了福音。事實(shí)上，整個(gè)宋元時(shí)期(公元960年—1368年)，重新統(tǒng)一了的中國(guó)封建社會(huì)發(fā)生了一系列有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的變化。這一時(shí)期涌現(xiàn)的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家中最卓越的代表，如通常稱“宋元四大家”的楊輝、秦九韶、李冶、朱世杰等，在世界數(shù)學(xué)史上占有光輝的地位；而這一時(shí)期印刷出版、記載著中國(guó)古典數(shù)學(xué)最高成就的宋元算書(shū)，也是世界文化的重要遺產(chǎn)。
賈憲是北宋人，約公元1050年完成一部叫《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》著作，原書(shū)丟失，但其主要內(nèi)容被南宋數(shù)學(xué)家楊輝著《詳解九章算法 》(1261年)摘錄，因能傳世。賈憲的增乘開(kāi)方法，是一個(gè)非常有效和高度機(jī)械化的算法，可適用于開(kāi)任意高次方。
秦九韶(約公元1202年—1261年)在他的代表著作《數(shù)書(shū)九章》中，將增乘開(kāi)方法推廣到了高次方程的一般情形，稱為“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”。秦九韶還有“大衍總數(shù)術(shù)”，即一次同余式的一般解法。這兩項(xiàng)貢獻(xiàn)使得宋代算書(shū)在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。
秦九韶的大衍總數(shù)術(shù)，是《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”題算法的推廣。從“孫子問(wèn)題”到“大衍總數(shù)術(shù)”關(guān)于一次同余式求解的研究，形成了中國(guó)古典數(shù)學(xué)中饒有特色的部分。這方面的研究，可能是受到了天文歷法問(wèn)題的推動(dòng)。中國(guó)古典數(shù)學(xué)的發(fā)展與天文歷法有特殊的聯(lián)系，另一個(gè)突出的例子是內(nèi)插法的發(fā)展。
古代天算家由于編制歷法而需要確定日月五星等天體的視運(yùn)動(dòng)，當(dāng)他們觀察出天體運(yùn)動(dòng)的不均勻性時(shí)，內(nèi)插法便應(yīng)運(yùn)產(chǎn)生。早在東漢時(shí)期，劉洪《乾象歷》就使用了一次內(nèi)插公式來(lái)計(jì)算月行度數(shù)。公元600年劉焊在《皇極歷》中使用了二次內(nèi)插公式來(lái)推算日月五星的經(jīng)行度數(shù)。公元727年，僧一行又在他的《大衍歷》中將劉焊的公式推廣到自變量不等間距的情形。但由于天體運(yùn)動(dòng)的加速度也不均勻，二次內(nèi)插仍不夠精密。隨著歷法的進(jìn)步，對(duì)數(shù)學(xué)工具也提出了更高的要求。到了宋元時(shí)代，便出現(xiàn)了高次內(nèi)插法。
最先獲得一般高次內(nèi)插公式的數(shù)學(xué)家是朱世杰(公元1300年前后)。朱世杰的代表著作有《算學(xué)啟蒙》(1299年)和《四元玉鑒》(1303年)�！端銓W(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了日本與朝鮮數(shù)學(xué)的發(fā)展�！端脑耔b》則是中國(guó)宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，其中最突出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造有“招差術(shù)”(即高次內(nèi)插法)，“垛積術(shù)”(高階等差級(jí)數(shù)求和)以及“四元術(shù)”(多元高次聯(lián)立方程組與消元解法)等。
宋元數(shù)學(xué)發(fā)展中一個(gè)最深刻的動(dòng)向是代數(shù)符號(hào)化的嘗試，這就是“天元術(shù)”和“四元術(shù)”的發(fā)明。天元術(shù)和四元術(shù)都是用專門(mén)的記號(hào)來(lái)表示未知數(shù)，從而列方程、解方程的方法，它們是代數(shù)學(xué)的重要進(jìn)步。
中國(guó)古代數(shù)學(xué)以計(jì)算為中心、具有程序性和機(jī)械性的算法化數(shù)學(xué)模式與古希臘的以幾何定理的演繹推理為特征的公理化數(shù)學(xué)模式相輝映，交替影響世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)迎頭趕上
自鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)以后，西方列強(qiáng)的軍艦與大炮使中國(guó)朝野看到了科學(xué)與教育的重要，部分有識(shí)之士還逐步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)對(duì)于富國(guó)強(qiáng)兵的意義，從而竭力主張改革國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育，同時(shí)派遣留學(xué)生出國(guó)學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)。辛亥革命以后，這兩條途徑得到了較好的結(jié)合，有力地推動(dòng)了中國(guó)現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)教育的建制。
20世紀(jì)初，在科學(xué)與民主的高漲聲中，中國(guó)數(shù)學(xué)家們踏上了學(xué)習(xí)并趕超西方先進(jìn)數(shù)學(xué)的光榮而艱難的歷程。1912年，中國(guó)第一個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)系——北京大學(xué)數(shù)學(xué)系成立(當(dāng)時(shí)叫“數(shù)學(xué)門(mén)”，1918年改“門(mén)”稱“系”)，這是中國(guó)現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)教育的開(kāi)端。
20世紀(jì)20年代，是中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的關(guān)鍵時(shí)期。在這一時(shí)期，全國(guó)各地大學(xué)紛紛創(chuàng)辦數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)開(kāi)始著眼于國(guó)內(nèi)。除了北京大學(xué)、清華大學(xué)、南開(kāi)大學(xué)、浙江大學(xué)，在這一時(shí)期成立數(shù)學(xué)系的還有東南大學(xué)(1921年)、北京師范大學(xué)(1922年)、武漢大學(xué)(1922年)、廈門(mén)大學(xué)(1923年)、四川大學(xué)(1924年)等等。
伴隨著中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的形成，現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究也在中國(guó)悄然興起。中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開(kāi)拓者們，在發(fā)展現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的同時(shí)，努力拼搏，追趕世界數(shù)學(xué)前沿，至1920年末和1930年，已開(kāi)始出現(xiàn)一批符合國(guó)際水平的研究工作。
1928年，陳建功在日本《帝國(guó)科學(xué)院院報(bào)》上發(fā)表論文《關(guān)于具有絕對(duì)收斂Fourier級(jí)數(shù)的函數(shù)類(lèi)》，中心結(jié)果是證明了一條關(guān)于三角級(jí)數(shù)在區(qū)間上絕對(duì)收斂的充要條件。幾乎同時(shí)，G.哈代和J.李特爾伍德在德文雜志《數(shù)學(xué)時(shí)報(bào)》上也發(fā)表了同樣的結(jié)果，因而西方文獻(xiàn)中常稱此結(jié)果為“陳-哈代-李特爾伍德定理”。這標(biāo)志中國(guó)數(shù)學(xué)家已能生產(chǎn)國(guó)際一流水平的研究成果。
差不多同時(shí)，蘇步青、江澤涵、熊慶來(lái)、曾炯之等也在各自領(lǐng)域里作出令國(guó)際同行矚目的成果。1928—1930年間，蘇步青在當(dāng)時(shí)處于國(guó)際熱門(mén)的仿射微分幾何方面引進(jìn)并決定了仿射鑄曲面和旋轉(zhuǎn)曲面。他在這個(gè)領(lǐng)域的另一個(gè)美妙發(fā)現(xiàn)后被命名為“蘇錐面”。江澤涵是將拓?fù)鋵W(xué)引進(jìn)中國(guó)的第一人，他本人在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域中最有影響的工作是關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)理論的研究，這在他1930年的研究中已有端倪。江澤涵從1934年起出任北京大學(xué)數(shù)學(xué)系主任。熊慶來(lái)“大器晚成”，1931年，已經(jīng)身居清華大學(xué)算學(xué)系主任的熊慶來(lái)，再度赴法國(guó)龐加萊研究所，兩年后取得法國(guó)國(guó)家博士學(xué)位。其博士論文《關(guān)于無(wú)窮級(jí)整函數(shù)與亞純函數(shù)》、引進(jìn)后以他的名字命名的“熊氏無(wú)窮級(jí)”等，將博雷爾有窮級(jí)整函數(shù)論推廣為無(wú)窮級(jí)情形。
從20世紀(jì)初第一批學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中國(guó)留學(xué)生跨出國(guó)門(mén)，到1930年中國(guó)數(shù)學(xué)家的名字在現(xiàn)代數(shù)學(xué)熱門(mén)領(lǐng)域的前沿屢屢出現(xiàn)，前后不過(guò)30余年，這反映了中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū)者們高度的民族自強(qiáng)精神和卓越的科學(xué)創(chuàng)造能力。
這一點(diǎn)，在1930年至1940年中的時(shí)期里有更強(qiáng)烈的體現(xiàn)。這一時(shí)期的大部分時(shí)間，中國(guó)是處在抗日戰(zhàn)爭(zhēng)的烽火之中，時(shí)局動(dòng)蕩，生活艱苦。當(dāng)時(shí)一些主要的大學(xué)都遷移到了敵后內(nèi)地。在極端動(dòng)蕩、艱苦的戰(zhàn)時(shí)環(huán)境下，師生們卻表現(xiàn)出抵御外侮、發(fā)展民族科學(xué)的高昂熱情。他們?cè)诳找u炸彈的威脅下，照常上課，并舉行各種討論班，同時(shí)堅(jiān)持深入的科學(xué)研究。這一時(shí)期產(chǎn)生了一系列先進(jìn)的數(shù)學(xué)成果，其中最有代表性的是華羅庚、陳省身、許寶 的工作。
到40年代后期，又有一批優(yōu)秀的青年數(shù)學(xué)家成長(zhǎng)起來(lái)，走向國(guó)際數(shù)學(xué)的前沿并作出先進(jìn)的成果，其中最有代表性的是吳文俊的工作。吳文俊1940年畢業(yè)于上海交通大學(xué)，1947年赴法國(guó)留學(xué)。吳文俊在留學(xué)期間就提出了后來(lái)以他的名字命名的“吳示性類(lèi)”和“吳公式”，有力地推動(dòng)了示性類(lèi)理論與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展。
經(jīng)過(guò)老一輩數(shù)學(xué)家們披荊斬棘的努力，中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)從無(wú)到有地發(fā)展起來(lái)，從1930年開(kāi)始，不僅有了達(dá)到一定水平的隊(duì)伍，而且有了全國(guó)性的學(xué)術(shù)性組織和發(fā)表成果的雜志，現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究初具規(guī)模，并呈現(xiàn)上升之勢(shì)。
1949年中華人民共和國(guó)成立之后，中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)新的階段。新中國(guó)的數(shù)學(xué)事業(yè)經(jīng)歷了曲折的道路而獲得了巨大的進(jìn)步。這種進(jìn)步主要表現(xiàn)在：建立并完善了獨(dú)立自主的現(xiàn)代數(shù)學(xué)科研與教育體制；形成了一支研究門(mén)類(lèi)齊全、并擁有一批學(xué)術(shù)帶頭人的實(shí)力雄厚的數(shù)學(xué)研究隊(duì)伍；取得了豐富的和先進(jìn)的學(xué)術(shù)成果，其中達(dá)到國(guó)際先進(jìn)水平的成果比例不斷提高。改革開(kāi)放以來(lái)，中國(guó)數(shù)學(xué)更是進(jìn)入了前所未有的良好的發(fā)展時(shí)期，特別是涌現(xiàn)了一批優(yōu)秀的、活躍于國(guó)際數(shù)學(xué)前沿的青年數(shù)學(xué)家。
改革開(kāi)放以來(lái)的20多年是我國(guó)數(shù)學(xué)事業(yè)空前發(fā)展的繁榮時(shí)期。中國(guó)數(shù)學(xué)的研究隊(duì)伍迅速擴(kuò)大，研究論文和專著成十倍地增長(zhǎng)，研究領(lǐng)域和方向發(fā)生了深刻的變化。我國(guó)數(shù)學(xué)家不僅在傳統(tǒng)的領(lǐng)域內(nèi)繼續(xù)作出了成績(jī)，而且在許多重要的過(guò)去空缺的方向以及當(dāng)今世界研究前沿都有重要的貢獻(xiàn)。在世界各地許多大學(xué)的數(shù)學(xué)系里都有中國(guó)人任教，特別是在美國(guó)，中國(guó)數(shù)學(xué)家還在大多數(shù)名校占有重要教職。在許多高水平的國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議上都能見(jiàn)到作特邀報(bào)告的中國(guó)學(xué)者。在重要的數(shù)學(xué)期刊上，不僅中國(guó)人的論著屢見(jiàn)不鮮，而且在引文中，中國(guó)人的名字亦頻頻出現(xiàn)。在一些有影響的國(guó)際獎(jiǎng)項(xiàng)中，中國(guó)人也開(kāi)始嶄露頭角。
這一切表明，我國(guó)的數(shù)學(xué)研究水平比過(guò)去有了很大提高，與世界先進(jìn)水平的差距明顯地縮小了，在許多重要分支上都涌現(xiàn)出了一批優(yōu)秀的成果和學(xué)術(shù)帶頭人。中國(guó)人在國(guó)際數(shù)學(xué)界的地位空前提高了。
李文林研究員表示，中國(guó)數(shù)學(xué)的今天，是幾代數(shù)學(xué)家共同拼搏奮斗的結(jié)果。2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)，標(biāo)志著中國(guó)國(guó)際地位的提高與數(shù)學(xué)水平的發(fā)展。他表示相信，在眾多中國(guó)科學(xué)家的共同努力下，中國(guó)數(shù)學(xué)趕超世界先進(jìn)水平，并在21世紀(jì)成為世界數(shù)學(xué)大國(guó)的夢(mèng)想一定能夠?qū)崿F(xiàn)。
近代數(shù)學(xué)日漸勢(shì)微
《四元玉鑒》可以說(shuō)是宋元數(shù)學(xué)的絕唱。元末以后，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)驟轉(zhuǎn)衰落。整個(gè)明清兩代(1368年—1911年)，不僅未再產(chǎn)生出能與《數(shù)書(shū)九章》、《四元玉鑒》相媲美的數(shù)學(xué)杰作，而且在清中葉乾嘉學(xué)派重新發(fā)掘研究以前，“天元術(shù)”、“四元術(shù)”這樣一些宋元數(shù)學(xué)的精粹，竟長(zhǎng)期失傳，無(wú)人通曉。明初開(kāi)始長(zhǎng)達(dá)三百余年的時(shí)期內(nèi)，除了珠算的發(fā)展及與之相關(guān)的著作(如程大位《算法統(tǒng)宗》，1592年)的出現(xiàn)，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究不僅沒(méi)有新的創(chuàng)造，反而倒退了。
中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)自元末以后落后的原因是多方面的。皇朝更迭的漫長(zhǎng)的封建社會(huì)，在晚期表現(xiàn)出日趨嚴(yán)重的停滯性與腐朽性，數(shù)學(xué)發(fā)展缺乏社會(huì)動(dòng)力和思想刺激。元代以后，科舉考試制度中的《明算科》完全廢除，唯以八股取士，數(shù)學(xué)社會(huì)地位低下，研究數(shù)學(xué)者沒(méi)有出路，自由探討受到束縛甚至遭禁錮。
同時(shí)，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)本身也存在著弱點(diǎn)�；I算系統(tǒng)使用的十進(jìn)位值記數(shù)制是對(duì)世界文明的一大貢獻(xiàn)，但籌算本身卻有很大的局限性。在籌算框架內(nèi)發(fā)展起來(lái)的半符號(hào)代數(shù)“天元術(shù)”與“四元術(shù)”，就不能突破籌算的限制演進(jìn)為徹底的符號(hào)代數(shù)�；I式方程運(yùn)算不僅笨拙累贅，而且對(duì)有五個(gè)以上未知量的方程組無(wú)能為力。另一方面，算法創(chuàng)造是數(shù)學(xué)進(jìn)步的必要因素，但缺乏演繹論證的算法傾向與缺乏算法創(chuàng)造的演繹傾向同樣難以升華為現(xiàn)代數(shù)學(xué)。而無(wú)論是籌算數(shù)學(xué)還是演繹幾何，在中國(guó)的傳播都由于“天朝帝國(guó)”的妄大、自守而顯得困難和緩慢。16、17世紀(jì)，當(dāng)近代數(shù)學(xué)在歐洲蓬勃興起以后，中國(guó)數(shù)學(xué)就更明顯地落后了。
從17世紀(jì)初到19世紀(jì)末大約三百年時(shí)間，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)滯緩發(fā)展和西方數(shù)學(xué)逐漸傳入的過(guò)渡時(shí)期，這期間出現(xiàn)了兩次西方數(shù)學(xué)傳播的高潮。
第一次是從17世紀(jì)初到18世紀(jì)初，標(biāo)志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯。1606年，中國(guó)學(xué)者徐光啟(1562年—1633年)與意大利傳教士利瑪竇(Matteo Ricci)合作完成了歐幾里得《原本》前6卷的中文翻譯，并于翌年(1607年)正式刊刻出版，定名《幾何原本》，中文數(shù)學(xué)名詞“幾何”由此而來(lái)。
西方數(shù)學(xué)在中國(guó)早期傳播的第二次高潮是從19世紀(jì)中葉開(kāi)始。除了初等數(shù)學(xué)，這一時(shí)期還傳入了包括解析幾何、微積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)論、概率論等近代數(shù)學(xué)知識(shí)。
西方數(shù)學(xué)在中國(guó)的早期傳播對(duì)中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的形成起了一定的作用，但由于當(dāng)時(shí)整個(gè)社會(huì)環(huán)境與科學(xué)基礎(chǔ)的限制，總的來(lái)說(shuō)其功效并不顯著。清末數(shù)學(xué)教育的改革仍以初等數(shù)學(xué)為主，即使在所謂“大學(xué)堂”中，數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容也沒(méi)有超出初等微積分的范圍，并且多半被轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的語(yǔ)言來(lái)講授。中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的真正開(kāi)拓，是在辛亥革命以后，興辦高等數(shù)學(xué)教育是重要標(biāo)志。
文章來(lái)源：《科學(xué)時(shí)報(bào)》 記者：王學(xué)健 2002-08-20
媒體報(bào)道（三）：
CCTV百家講壇：相識(shí)數(shù)學(xué)4 ——二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)
演講人：李文林
講師簡(jiǎn)介：中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員，在中國(guó)算法、微積分與解析幾何史、希爾伯特問(wèn)題等方面有深入研究，1992年當(dāng)選國(guó)際數(shù)學(xué)史委員會(huì)委員，1995年4月起任《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》常務(wù)副主編。
內(nèi)容簡(jiǎn)介：20世紀(jì)的數(shù)學(xué)，主要的是三塊，三大活動(dòng)，一塊就是純粹數(shù)學(xué)的擴(kuò)展，純粹數(shù)學(xué)也是叫做核心數(shù)學(xué)，上級(jí)也就是抽象數(shù)學(xué)；第二塊活動(dòng)就是數(shù)學(xué)的空間的應(yīng)用、應(yīng)用數(shù)學(xué)的空前蓬勃發(fā)展；第三塊活動(dòng)就是計(jì)算機(jī)跟數(shù)學(xué)的相互影響，這個(gè)三大活動(dòng)構(gòu)成了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的主要線索，概括了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展。
全文：
我想20世紀(jì)的數(shù)學(xué)，主要的是三塊，三大活動(dòng)，一塊就是純粹數(shù)學(xué)的擴(kuò)展，純粹數(shù)學(xué)也是叫做核心數(shù)學(xué)，上級(jí)也就是抽象數(shù)學(xué)，第二塊活動(dòng)就是數(shù)學(xué)的空間的應(yīng)用應(yīng)用數(shù)學(xué)的空前蓬勃發(fā)展。第三塊活動(dòng)就是計(jì)算機(jī)跟數(shù)學(xué)的相互影響,這個(gè)三大活動(dòng)構(gòu)成了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的主要線索，我今天主要也就是按照這三大活動(dòng)，來(lái)概括20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，其中，我先講純粹數(shù)學(xué)。
純粹數(shù)學(xué)是19世紀(jì)的遺產(chǎn)，按照羅素，英國(guó)大數(shù)學(xué)家哲學(xué)家羅素的說(shuō)法，就是說(shuō)，19世紀(jì)，有一個(gè)可以跟蒸汽機(jī)的使用等等電氣的使用可以相提并論的一頂桂冠，就是說(shuō)，純粹數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，他認(rèn)為，純粹數(shù)學(xué)主要是19世紀(jì)的產(chǎn)物20世紀(jì)，純粹數(shù)學(xué)得到了巨大的發(fā)展，純粹數(shù)學(xué)這個(gè)前沿在20世紀(jì)不斷的挺進(jìn)而且，產(chǎn)生出很多令人驚異的成就。
比方說(shuō)，我們大家都知道的哄動(dòng)一時(shí)費(fèi)馬大定理的證明，這是300多年了，一直在前幾個(gè)世紀(jì)都沒(méi)有解決，但是，20世紀(jì)解決了，還有四色定理也是有100多年的歷史都沒(méi)有解決，但是在20世紀(jì)被解決了。那么，其他大家可能有的聽(tīng)得比較少的向連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在某種意義上，在一定程度上，也在20世紀(jì)被解決了,還有很復(fù)雜的節(jié)是有限單群的分類(lèi)定理，也是20世紀(jì)很大的成果等等，所以，20世紀(jì)引出來(lái)一系列很驚人的成果。
跟19世紀(jì)相比，20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展，表現(xiàn)下面這樣一個(gè)特征跟趨勢(shì)。
也就是首先，就是說(shuō)，更高的抽象化，第二個(gè)特征或者叫趨勢(shì)，更強(qiáng)的統(tǒng)一性，第三個(gè)趨勢(shì)是更深入地對(duì)基礎(chǔ)的探討。我后面兩個(gè)特征，實(shí)際上，本質(zhì)上也是屬于抽象化，所以我今天重點(diǎn)還是談?wù)?0世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)里面更高的抽象化這樣一個(gè)趨勢(shì)，那么，抽象化本來(lái)是數(shù)學(xué)的固定的特征，那么，20世紀(jì)的抽象化它跟以前的數(shù)學(xué)發(fā)展有什么不同呢？我想20世紀(jì)數(shù)學(xué)的抽象化主要是受了兩大因素的推動(dòng)，一個(gè)就是集合論的觀點(diǎn)，還有一個(gè)是公理化的方法，這個(gè)是跟過(guò)去的時(shí)代是不一樣的。那么，集合論的觀點(diǎn)，我們知道，集合論本來(lái)是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托，為了使得分析微積分嚴(yán)格化，而產(chǎn)生的這樣一個(gè)分支，那么，康托是主要的代表人物，但是，康托的集合，主要是指的數(shù)的集合，或者點(diǎn)的集合，那么，后來(lái)呢，經(jīng)過(guò)其他數(shù)學(xué)家，比如說(shuō)，法國(guó)的弗萊歇，他們把集合論加以發(fā)展， 發(fā)展成推廣成為任意元素，這個(gè)集合的元素可以是任意的對(duì)象這樣一個(gè)抽象的對(duì)象，就產(chǎn)生了一般的集合論，抽象的集合論，這個(gè)抽象的集合論，后來(lái)被發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的一個(gè)很有用的語(yǔ)言。它可以在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域里邊作為一種通用的語(yǔ)言來(lái)描述數(shù)學(xué)的一些定理，來(lái)建立一些概念。
另外一個(gè)是公理化方法，我剛才說(shuō)，20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)抽象化趨勢(shì)受第二個(gè)推動(dòng)的大的因素，公理化方法，德國(guó)數(shù)學(xué)家，20世紀(jì)也應(yīng)該算是可以數(shù)在前頭的一位，赫爾曼外伊他說(shuō)過(guò)這樣一句話，他在總結(jié)20世紀(jì)上半世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的時(shí)候，他說(shuō)過(guò)這樣一句話，他說(shuō)，20世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)十分突出的方面，是公理化方法所起的作用的極度增長(zhǎng)，以前他說(shuō)，公理化僅僅是用來(lái)闡明我們所建立的理論的基礎(chǔ)。但是，現(xiàn)在，他卻成為具體數(shù)學(xué)研究的工具。這是赫爾曼外伊的一個(gè)看法。
那么，20世紀(jì)的公理化方法的奠基人是德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特，希爾伯特大家都可能知道他在1900年國(guó)際數(shù)學(xué)家巴黎大會(huì)上，提出23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，因?yàn)檫@
個(gè)很有名，但是，希爾伯特有很大的重大的貢獻(xiàn)，其中有一個(gè)就是他提出來(lái)，新的公理化方法，那么，公理化方法在歐幾里得幾何里面已經(jīng)有了，在公元前三世紀(jì)就已經(jīng)有了，整個(gè)系統(tǒng)是從公理定理開(kāi)始，然后在這個(gè)基礎(chǔ)上，建立證明推導(dǎo)很多定理，這就是所謂歐幾里得的一個(gè)公理化系統(tǒng)，歐幾里得的公理系統(tǒng)里面有一條公設(shè)叫做第五公設(shè)就是平行公設(shè)，過(guò)直線外一點(diǎn)，能夠，而且只能作一條直線，跟已經(jīng)知道的直線平行。這個(gè)公設(shè)在這個(gè)公理系統(tǒng)里面就顯得很特殊，幾千年，數(shù)學(xué)家們一直在問(wèn)，這條公理，好像他們從直覺(jué)上感到跟其他的公理不一樣，他們就希望，就問(wèn)能不能從其他的公理或者定理來(lái)證明這條公理，一兩千年這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有解決，可以說(shuō)兩千年吧，一直到19世紀(jì)才有人發(fā)現(xiàn)這條公理是獨(dú)立的。也就是說(shuō)你換成另外一個(gè)公理，把它歐幾里得公理全部保存，歐幾里得公理都保存，就把這一條平行公設(shè)改成過(guò)直線之外可以作不只一條直線，跟原來(lái)的直線相平行的話，你同樣可以推出一套數(shù)學(xué)幾何來(lái)。這套幾何本身，也是可以有它的定理，而且，看其他好像也沒(méi)有什么矛盾。那么這樣一來(lái)的話就使得歐幾里得幾何公理的體系就引起了人們的研究，就覺(jué)得歐幾里得幾何公理系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)，還不是很清楚。
那么，希爾伯特他經(jīng)過(guò)了大量的研究以后，提出來(lái)一套公理化方法，他這個(gè)公理化方法，區(qū)別于歐幾里得的主要是兩點(diǎn)，第一點(diǎn)就是他提出來(lái)，對(duì)公理系統(tǒng)比較要提出邏輯要求，他提出來(lái)三條第一條這個(gè)公理系統(tǒng)，必須要符合一種叫相融性，或者叫無(wú)矛盾性。這什么意思呢？就是你這個(gè)公理系統(tǒng)里面的公理，不能夠相互矛盾。你從有些公理推出來(lái)一些相互矛盾的公理，當(dāng)然從邏輯上，你這個(gè)公理系統(tǒng)就是不好的。就不行的。這是叫做相融性，或者叫做無(wú)矛盾性這是很自然的一個(gè)要求。
另外一個(gè)要求，他提出來(lái)這個(gè)公理系統(tǒng)，必須要符合一種叫做獨(dú)立性，也就是說(shuō)這個(gè)公理系統(tǒng)里面不應(yīng)該有多余的公理，什么叫多余的公理就是說(shuō)像他們懷疑的說(shuō)歐幾里得第五公設(shè)可以從別的公理推出來(lái)作為公理立在那兒就是多余的。所以，要把它去掉。但是后來(lái)他們發(fā)現(xiàn)證明了歐幾里得第五公里是獨(dú)立的它不能從其他公理推出來(lái)，因此它就可以作為一條公理，獨(dú)立地放在這個(gè)公理系統(tǒng)里面，所以這個(gè)公理系統(tǒng)的獨(dú)立性是他提出來(lái)的第二個(gè)要求。第三個(gè)要求就是公理系統(tǒng)不能缺少公理，少了公理，有些東西推不出來(lái)。這個(gè)叫做公理系統(tǒng)的完備性，他提出來(lái)公理系統(tǒng)的三條邏輯要求，就使得人們對(duì)公理系統(tǒng)的考察，有了邏輯根據(jù)，這個(gè)是對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性一個(gè)很大的貢獻(xiàn)。
他的公理第二個(gè)推動(dòng)數(shù)學(xué)抽象化趨勢(shì)很大的特性，就是說(shuō)，公理系統(tǒng)里面的對(duì)象，他研究的對(duì)象，是抽象的。不是像歐幾里得的幾何里面它這個(gè)公理系統(tǒng)的對(duì)象就是具體的點(diǎn)線面，那么他認(rèn)為，這些公理系統(tǒng)的對(duì)象，本身的內(nèi)容并不重要，重要的是這些對(duì)象，按照他的公理里刻劃的相互之間的一些關(guān)系，比如說(shuō)，距離，或者是線段的大小，這樣一些東西的話，這些性質(zhì)的話，他是要用公理來(lái)刻劃的這些性質(zhì)關(guān)系是本質(zhì)性的至于說(shuō)這些對(duì)象本身是點(diǎn)也好，線也好，面也好，他說(shuō)過(guò)一個(gè)笑話，一次在火車(chē)上，碰到另外一個(gè)數(shù)學(xué)家，人家問(wèn)他，你的公理化系統(tǒng)是什么意思？能不能簡(jiǎn)單地給我說(shuō)一下，他開(kāi)了一個(gè)玩笑，他說(shuō)，你可以把點(diǎn)線面，換成桌子，椅子，啤酒杯，然后它照樣符合這些公理，那么它照樣可以成為你這個(gè)公理系統(tǒng)的研究對(duì)象，這當(dāng)然是一個(gè)笑話，大家聽(tīng)起來(lái)會(huì)感到荒謬，但是，我往后面講到的時(shí)候，大家會(huì)感到這樣一種思想，增加了數(shù)學(xué)的抽象性，同時(shí)也提高了它的可用性。這是希爾伯特對(duì)數(shù)學(xué)公理化方法的特點(diǎn)。
那么這樣一個(gè)公理化的方法，跟康托集合論的觀點(diǎn)，經(jīng)過(guò)發(fā)展的集合論的觀點(diǎn)，朝向的集合論的觀點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，就推動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的抽象化趨勢(shì)，使得20世紀(jì)數(shù)學(xué)在更抽象的道路上，高度抽象的道路上發(fā)展，而且，產(chǎn)生了導(dǎo)致了四大抽象學(xué)科的誕生，這是跟過(guò)去的數(shù)學(xué)不一樣的學(xué)科。一個(gè)叫做實(shí)變函數(shù)論一個(gè)就是泛函分析，還有一個(gè)是抽象代數(shù)。第四個(gè)是拓?fù)鋵W(xué)，這樣四大抽象學(xué)科的誕生，而這四大抽象學(xué)科，所產(chǎn)生的一些概念，方法，定理它們又滲透到數(shù)學(xué)已經(jīng)有了其他的學(xué)科，像數(shù)論，是吧？實(shí)變函數(shù)論，代數(shù)，幾何，概率論，等等，微積分，很多其他的分支里面，就引起了這些分支的變革。那么這樣就形成了20世紀(jì)抽象數(shù)學(xué)一個(gè)很巨大的潮流。
我想我們還是按照我們經(jīng)典之道的分析，跟代數(shù)還有幾何這么三個(gè)領(lǐng)域來(lái)看一看，我們比較熟悉的領(lǐng)域來(lái)看一看，20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展，引起的概念上的一些變革。在分析領(lǐng)域里面，我想，20世紀(jì)開(kāi)門(mén)紅的一個(gè)成果是叫做勒貝格積分。這是在1902年，當(dāng)然它完成實(shí)際上是1901年就做出來(lái)了，1902年發(fā)表的，勒貝格，法國(guó)數(shù)學(xué)家，叫勒貝格積分理論。這個(gè)積分理論引起了積分概念的變化，這種變革表現(xiàn)在什么地方？
就是說(shuō)，過(guò)去在19世紀(jì)的積分，一般我們叫做黎曼積分，這個(gè)黎曼積分，我們學(xué)過(guò)微積分的就知道，他是把數(shù)，數(shù)軸橫軸上面就是函數(shù)的X軸上面的線段，積分區(qū)間把它分成很多小的區(qū)間，N個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間取一個(gè)點(diǎn)，在
這個(gè)點(diǎn)上取函數(shù)值，這個(gè)函數(shù)值，跟區(qū)間的長(zhǎng)度相乘，然后求它的和，然后，讓N趨向無(wú)窮的時(shí)候，你得到一個(gè)積分，定積分值，這個(gè)叫做黎曼積分，這是
這種積分就一個(gè)缺陷，就是它對(duì)一些非正常的或者我們叫怪異的一些函數(shù)，或者叫病態(tài)函數(shù)，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家把它們叫做病態(tài)函數(shù)，這個(gè)積分就沒(méi)法積，為什么？你在每一個(gè)區(qū)間上求一個(gè)點(diǎn)，求一個(gè)函數(shù)值讓它和要有極限的話這個(gè)函數(shù)不能太壞，如果這個(gè)函數(shù)在那兒蹦來(lái)蹦去的話，那你這個(gè)極限就會(huì)是不一樣的按照它的定理這個(gè)積分就不存在。
比如說(shuō)我們舉一個(gè)通常知道的病態(tài)函數(shù)。在0跟1這個(gè)區(qū)間上在所有的有理數(shù)的點(diǎn)上，這個(gè)函數(shù)等于1。在所有的無(wú)理點(diǎn)上它等于零這個(gè)函數(shù)你就不可能
去按照黎曼函數(shù)給它積分這是一個(gè)病態(tài)函數(shù)。那么這個(gè)但是這些病態(tài)函數(shù)還有很多其他的病態(tài)函數(shù)，這些病態(tài)函數(shù)在數(shù)學(xué)家看來(lái)是病態(tài)的，但是，在物理學(xué)里面，很有用。所以它們的積分是數(shù)學(xué)家們關(guān)心的怎么樣把原來(lái)的積分概念推廣，使得它能夠適用于這些病態(tài)的函數(shù)，那么，勒貝格解決了這個(gè)問(wèn)題。
他的想法反過(guò)來(lái)，把這個(gè)區(qū)間劃分開(kāi)，不是劃分自變量，X軸的這個(gè)線段，而是把應(yīng)變量函數(shù)值，取值的這樣一個(gè)值域，把這樣一個(gè)區(qū)間把它劃分。那么在值域上劃分的時(shí)候，大家可以想象它劃分出來(lái)在X軸上相應(yīng)的自變量點(diǎn)的分布，可能會(huì)很亂。它不是一個(gè)線段，那么這個(gè)里面，怎么樣求這樣一些集合的長(zhǎng)度呢？勒貝格積分的推廣是以推廣長(zhǎng)度為基礎(chǔ)的，就是說(shuō)我們知道長(zhǎng)度，我們過(guò)去都是對(duì)線段，就是一個(gè)線段，連續(xù)的線段，我們可以量它的長(zhǎng)度，定義它的長(zhǎng)度，那么很多線段加起來(lái)那也可以定義它的長(zhǎng)度，現(xiàn)在，勒貝格，在勒貝格之前，法國(guó)就有一些數(shù)學(xué)家，像波萊爾，他已經(jīng)把長(zhǎng)度的概念推廣了。滿足一定條件的集合我們可以定義它的長(zhǎng)度，這個(gè)長(zhǎng)度的定義是你原來(lái)的歐幾里得空間里面這樣一個(gè)線段的長(zhǎng)度為基礎(chǔ)的。以它為基礎(chǔ)，來(lái)推廣對(duì)于某一種程度的集合，我可以定義它的長(zhǎng)度。這個(gè)長(zhǎng)度的概念，后來(lái)數(shù)學(xué)家們就把它叫做測(cè)度，比方我剛才說(shuō)的有理點(diǎn)，在這個(gè)數(shù)軸上面是無(wú)窮多個(gè)。所以，有理點(diǎn)形成的集合它可不可以是測(cè)量它的長(zhǎng)度？這個(gè)問(wèn)題在過(guò)去的話你就沒(méi)法量，按照勒貝格之前，就波萊爾他們發(fā)展的推廣的長(zhǎng)度的概念，就可以說(shuō)，這個(gè)集合的測(cè)度，它的所謂的廣義的長(zhǎng)度是0，而無(wú)理數(shù)的點(diǎn)也是無(wú)窮多個(gè)分布在數(shù)軸上面，在0跟1之間。比方說(shuō)，無(wú)理數(shù)有好多個(gè)但是它不連續(xù)，任何一個(gè)區(qū)間里面都會(huì)有空檔，這個(gè)空檔就是有理數(shù)把它刨掉了，那么這個(gè)線段長(zhǎng)短，按照過(guò)去經(jīng)典長(zhǎng)度概念，也是不能測(cè)量的但是現(xiàn)在有了測(cè)度概念以后，就是廣義的長(zhǎng)度概念以后，可以說(shuō)這樣一個(gè)集合，0跟1之間的無(wú)理數(shù)的集合的長(zhǎng)度是等于1這樣的話他把長(zhǎng)度的概念，就利用集合論的觀念，我剛才一開(kāi)始說(shuō)了，集合亂的觀點(diǎn)是很重要對(duì)于抽象化。他利用集合論的觀點(diǎn)，把長(zhǎng)度的概念，從通常的歐幾里得長(zhǎng)度推廣到更廣泛的集合上面去。
對(duì)于一些不連續(xù)的，很奇怪的一些看起來(lái)雜亂無(wú)章一些電視機(jī)集合可以去定義它的長(zhǎng)度，這樣一來(lái)的話，積分的概念推廣就有了基礎(chǔ)，這樣的話，法國(guó)的數(shù)學(xué)家勒貝格就把積分的概念，給推廣了。推廣成我們現(xiàn)在叫做勒貝格積分,勒貝格積分就使得一些病態(tài)函數(shù)我們可以建立積分，而這些函數(shù)的積分我剛才講了，在物理學(xué)里邊很有用的。當(dāng)然這種推廣，我想20世紀(jì)它是一個(gè)開(kāi)門(mén)紅。
那么，勒貝格積分的話，我剛才講了，包括長(zhǎng)度概念的推廣，跟積分概念的變革。而它們的變革又引起了導(dǎo)數(shù)還有函數(shù)概念一系列的變革。所以，建立了一門(mén)新的微積分，就是在這樣勒貝格積分的基礎(chǔ)上，建立起來(lái)的微積分叫做實(shí)變函數(shù)論，在實(shí)變函數(shù)之前出現(xiàn)的分析叫做古典分析，我們習(xí)慣上就把勒貝格積分以后的分析叫做現(xiàn)代分析。那么，它引起來(lái)的一個(gè)進(jìn)一步的變革，想很重要的是函數(shù)概念的變化。
函數(shù)經(jīng)典的定義，就是說(shuō)，應(yīng)變量和自變量之間的對(duì)應(yīng)，一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么現(xiàn)在我們定義函數(shù)的時(shí)候，用所謂映射，映射的觀點(diǎn)，這個(gè)映射這個(gè)觀點(diǎn)可以說(shuō)是函數(shù)概念的一種推廣，這個(gè)映射就是說(shuō)，對(duì)應(yīng)的關(guān)系可以不一定是數(shù),它可以是一個(gè)集合有的抽象元素的集合，到另外一個(gè)集合的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這一種對(duì)應(yīng)關(guān)系就是一種映射我們現(xiàn)在叫映射，這個(gè)映射，實(shí)際上是函數(shù)概念的一種推廣。它使得這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以推廣到一個(gè)任意的抽象的集合上面去在代數(shù)領(lǐng)域，我想，它的變革，我想也是非常重要。而且我想這個(gè)變革也影響了整個(gè)數(shù)學(xué)的其他的分支的，這就是說(shuō)我們代數(shù)學(xué)，在17世紀(jì)以前，或者說(shuō)在19世紀(jì)以前，我們基本上是研究方程，解方程，或者是我們說(shuō)是研究數(shù)跟數(shù)之間的運(yùn)算，運(yùn)算這種運(yùn)算它關(guān)系有什么性質(zhì)，比方滿足什么交換率，滿足結(jié)合律，分配律，我們研究這種性質(zhì)，這是初等代數(shù)。或者說(shuō)19世紀(jì)以前代數(shù)的主要內(nèi)容，到了19世紀(jì)以后，由于法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅華，提出來(lái)群的概念，那么這個(gè)代數(shù)學(xué)就逐漸地發(fā)展，變成了討論不是數(shù)跟數(shù)之間的運(yùn)算，而是一些抽象元素之間的一些運(yùn)算的關(guān)系，而這些運(yùn)算，符合一些性質(zhì)，那么這些性質(zhì)是用公理來(lái)描寫(xiě)的這樣一個(gè)研究代數(shù)的方法，我們現(xiàn)在所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)，這是現(xiàn)在數(shù)學(xué)里邊用得非常廣泛的一個(gè)研究的方法，后來(lái)這個(gè)代理結(jié)構(gòu)的研究方法，又被推到整個(gè)數(shù)學(xué)里邊，產(chǎn)生一般的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這就是法國(guó)數(shù)學(xué)家學(xué)派，一個(gè)數(shù)學(xué)家集體了，叫做布爾巴基學(xué)派，它把抽象代數(shù)里邊的這樣一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，引申到研究整個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，一般的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，他提出來(lái)，除了代數(shù)結(jié)構(gòu)以外，還應(yīng)該有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。還應(yīng)該有續(xù)結(jié)構(gòu)。
就是發(fā)展到用一般的結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，來(lái)研究數(shù)學(xué)。
那么這個(gè)結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)研究數(shù)學(xué)我想它的本質(zhì)還在于它的公理和這個(gè)公理化方法引進(jìn)到代數(shù)里面來(lái)，引起了整個(gè)代數(shù)的面目全非。20世紀(jì)面目全非，那么這套方法，作貢獻(xiàn)最大的是布爾伯特的一個(gè)學(xué)生，一個(gè)女?dāng)?shù)學(xué)家，叫艾米諾特,可能我們聽(tīng)說(shuō)過(guò)，她在哥庭根領(lǐng)導(dǎo)了一個(gè)代數(shù)學(xué)派，這個(gè)代數(shù)學(xué)派對(duì)我剛才講的說(shuō)代數(shù)結(jié)構(gòu)，抽象代數(shù)的發(fā)展，起了奠基性的作用。20世紀(jì)代數(shù)領(lǐng)域，它不再是研究具體的數(shù)之間的運(yùn)算，跟他們的性質(zhì)，而是研究一般的抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)什么意思？就是有一個(gè)集合這個(gè)集合里面有一些抽象的元素,這個(gè)元素里邊，定義了一種運(yùn)算這種運(yùn)算也可以類(lèi)比成加法也好，類(lèi)比成乘法也好，也可以定義幾個(gè)運(yùn)算，但是這些運(yùn)算之間要滿足一定的關(guān)系一定的性質(zhì)這個(gè)性質(zhì)是用公理來(lái)刻劃的用公理性質(zhì)來(lái)刻劃的，這就是我們今天研究抽象代數(shù)的一個(gè)方法，我講起來(lái)大家可能會(huì)感到抽象但是它的用處是非常的廣泛，下面我就進(jìn)入到比較容易講的幾何領(lǐng)域。
我們來(lái)看看幾何領(lǐng)域20世紀(jì)在一些基本觀念一些概念上有什么變革，我想歐幾里得幾何的這種絕對(duì)的空間觀念，用6個(gè)字來(lái)描寫(xiě)，這個(gè)可能不太恰當(dāng)，但是我想比較直觀，就是三維的，或者你在二維一維考慮的時(shí)候，那就不能超過(guò)三維，三維的平直的不能彎曲的剛性的，就是說(shuō)你這個(gè)任意，你研究幾何學(xué)它的空間任意兩點(diǎn)距離你管怎么挪，它是不能動(dòng)的不能變的，不能拉長(zhǎng)也不能縮短。那么，我想，大概歐幾里得幾何大致上可以用這6個(gè)字來(lái)說(shuō)。在實(shí)際應(yīng)用，我剛才講了，非歐幾何，對(duì)歐幾里得的第五公設(shè)提出懷疑以后，提出來(lái)的非歐幾何的發(fā)展等等，已經(jīng)把歐氏集合的框框已經(jīng)開(kāi)始打破了。
可以這么說(shuō)，19世紀(jì)后來(lái)幾何學(xué)的發(fā)展，都是沿著非歐化的這個(gè)路線發(fā)展的一個(gè)是把三維突破成高維N維，我們歐氏幾何一般研究現(xiàn)實(shí)空間三維，那么
在19世紀(jì)已經(jīng)突破到N維，研究高維的空間，那么，平直的這一點(diǎn)，我想狹義
的像羅巴契夫斯基幾何也好，羅巴契夫斯基幾何就是一個(gè)雙曲的一個(gè)彎曲的集合這個(gè)空間是彎曲的它不再是平直的所以，非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上把這一點(diǎn)也給打破了。
那么關(guān)于剛性，我想最簡(jiǎn)單的例子就是攝影，攝影幾何它的發(fā)展，實(shí)際上攝影幾何兩點(diǎn)之間的距離是不再保持不變的，那么它是要變化的。但是我想對(duì)于剛性這一點(diǎn)，最大的突破，是在20世紀(jì)，我先講這個(gè)維數(shù)，在20世紀(jì)，我剛才說(shuō)了19世紀(jì)幾何學(xué)從三維突破到N維，20世紀(jì)有沒(méi)有什么變化呢？20世紀(jì)我
想我們的幾何空間，已經(jīng)從兩個(gè)方向突破，一個(gè)是產(chǎn)生了無(wú)窮維的幾何這個(gè)無(wú)窮維空間，就是在剛剛說(shuō)的分析的變革上引起的。就是我剛才說(shuō)的函數(shù)，這個(gè)集合，實(shí)際上是一個(gè)把每一個(gè)函數(shù)看成一個(gè)點(diǎn)的話那么它是一個(gè)集合，這個(gè)集合可以看成一個(gè)空間，那么，其中有一函數(shù)的空間，它實(shí)際上是無(wú)窮維的它的維度，如果你一定要用維數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)刻劃它的話，它是無(wú)窮維的。
我舉一個(gè)例子，這個(gè)無(wú)窮維空間的概念，是希爾伯特剛才講的公理化方法的發(fā)明人，希爾伯特提出來(lái)的。他在研究積分方程的時(shí)候，提出來(lái)，就是由無(wú)窮多個(gè)實(shí)數(shù)組成了一個(gè)組，A1A2一直到AN，一直到無(wú)窮，這樣一個(gè)每一個(gè)AN都是一個(gè)實(shí)數(shù)，這樣無(wú)窮多個(gè)實(shí)數(shù)放在一起，它看成一個(gè)元素，看成一個(gè)組，一個(gè)元素，那么所有這樣的元素的集合，它在這個(gè)集合上面定義了一些運(yùn)算，定義了運(yùn)算以后，他認(rèn)為構(gòu)成一個(gè)空間，把每一個(gè)這樣的元素看成一個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)空間，這個(gè)空間的維數(shù)是無(wú)窮維的所以，希爾伯特這個(gè)無(wú)窮多個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合的全體是第一個(gè)無(wú)窮維的一個(gè)空間的一個(gè)例子。那么所以后來(lái)他的學(xué)生就把這樣的空間叫做希爾伯特空間，希爾伯特空間在20世紀(jì)物理學(xué)數(shù)學(xué)里面，到處都在用。無(wú)窮維這是無(wú)窮維。
后來(lái)，實(shí)變函數(shù)的發(fā)現(xiàn)就發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)空間，就是剛才不是講勒貝格嗎？所有的平方所有的函數(shù)如果把它平方以后，能夠求勒貝格積分的所有這樣函數(shù)的全體，跟剛才講的無(wú)窮實(shí)數(shù)組這樣一個(gè)全體的集合是等價(jià)的是可以一一對(duì)應(yīng)的。也就是說(shuō)所有這樣的函數(shù)的全集，構(gòu)成的一個(gè)集合可以看成一個(gè)無(wú)窮維的空間這樣的話就把空間的概念，從有限維N維推廣到了無(wú)窮維這是一個(gè)方向。
另外一個(gè)方向突破的維度概念取得突破的是20世紀(jì)后半葉發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)維。就是說(shuō)，空間的維數(shù)不盡可以是有限的維，不光三維，可以是N維，高維這在
19世紀(jì)就已經(jīng)知道了。那么到了20世紀(jì)還可以有無(wú)窮維，現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn),空間的概念還可以推廣到分?jǐn)?shù)維，關(guān)于分?jǐn)?shù)維這個(gè)空間的幾何，就叫分形幾何這完全是20世紀(jì)新建的一門(mén)幾何學(xué)。
在20世紀(jì)，我想拓?fù)鋵W(xué)，這樣一個(gè)新的學(xué)科，就剛才我講的四大抽象學(xué)科當(dāng)中的一門(mén)，它實(shí)際上是對(duì)剛性歐幾里得集合里面空間里面剛性原則一個(gè)最大的突破，那么經(jīng)過(guò)這樣一種變革，空間，概念本身，就發(fā)生了很重要的變革。就是現(xiàn)在20世紀(jì)數(shù)學(xué)家我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)家心目當(dāng)中的空間，它是一種抽象的結(jié)構(gòu)，就是我剛才講的一種結(jié)構(gòu)，也就是說(shuō)空間是一些集合，是一些元素的集合這些元素是抽象的它是什么我不管它，而這些元素之間有一些關(guān)系，這些關(guān)系是用公理來(lái)刻劃的。這些例子就說(shuō)明20世紀(jì)數(shù)學(xué)抽象的趨勢(shì)，高度抽象的趨勢(shì)。
那么數(shù)學(xué)這種抽象的性質(zhì)是跟它的另外一個(gè)特寫(xiě)，所謂廣泛的使用性，多用性是緊密相聯(lián)系的。數(shù)學(xué)它正因?yàn)樗兴母叨鹊某橄笮�，所以，它才有它廣泛的實(shí)用性，數(shù)學(xué)的廣泛的用處正是從它抽象的特性來(lái)的20世紀(jì)數(shù)學(xué)高度抽象化的發(fā)展，說(shuō)明了它數(shù)學(xué)這種抽象化的特征，跟它的廣泛的實(shí)用性特性之間的聯(lián)系是比以往任何時(shí)代都更加密切。更加深刻。也更加復(fù)雜。更加奇妙。那么在20世紀(jì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用跟以前的時(shí)代有什么不一樣的呢？我想主要也是表現(xiàn)在三個(gè)方面。
第一個(gè)方面就是數(shù)學(xué)的應(yīng)用它突破了傳統(tǒng)的范圍，像人類(lèi)幾乎所有的知識(shí)領(lǐng)域滲透。那我現(xiàn)在，我只要舉一下在20世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的一些的數(shù)學(xué)應(yīng)用到其他的學(xué)科里邊產(chǎn)生的邊緣分支，我想就能說(shuō)明問(wèn)題，20世紀(jì)我可以列舉出來(lái)的交叉的分支有像數(shù)學(xué)物理，這是物理，數(shù)學(xué)在物理里面的應(yīng)用，還有我們有數(shù)理化學(xué)，化學(xué)里邊現(xiàn)在用的不是簡(jiǎn)單的一元二次方程，而是很復(fù)雜的微分方程,還有很多是數(shù)學(xué)家本身都沒(méi)有辦法，感到束手無(wú)策的非線性微分方程。還有數(shù)理氣象學(xué)，現(xiàn)在的氣象預(yù)報(bào)也是建立在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上的。我想大概如果沒(méi)有數(shù)值分析的話我們現(xiàn)在不可能有這么精密的天氣預(yù)報(bào)。
剩下來(lái)還有數(shù)理考古學(xué)，我們現(xiàn)在考古也用到很多數(shù)學(xué)。第二個(gè)特點(diǎn)我說(shuō),純粹數(shù)學(xué)幾乎所有的分支都獲得了應(yīng)用，我說(shuō)這是雙向的剛才說(shuō)的是數(shù)學(xué)幾乎向所有的科學(xué)技術(shù)或者人類(lèi)的知識(shí)領(lǐng)域滲透，第一個(gè)方面，數(shù)學(xué)的幾乎所有的分支都參與了這種滲透至于它最抽象的部分，比如剛才說(shuō)的抽象代數(shù)，我剛才就沒(méi)有能夠再深入地往下面講，抽象代數(shù)的確是非常抽象，但是它在20世紀(jì)找到了它的應(yīng)用，抽象的群論跟抽象代數(shù)在物理學(xué)里面，我在我們描寫(xiě)自然界的對(duì)成現(xiàn)象里面，是有廣泛的用途的。那么，我說(shuō)最抽象的領(lǐng)域除了群論，還有像數(shù)論，數(shù)論，就是研究自然數(shù)的性質(zhì)，我們的哥德赫特猜想就是這樣一個(gè)數(shù)論問(wèn)題。那么這個(gè)數(shù)論有什么用呢？是不是光是自然數(shù)之間的一種游戲呢？智力難題呢？不是的。
數(shù)論所以它在現(xiàn)代的編碼理論里面有非常重要的應(yīng)用，另外還有就是拓?fù)鋵W(xué)，就是所謂的橡皮泥集合，它是有很具體的應(yīng)用，比如在生物學(xué)里面，有我剛才沒(méi)有講的就是說(shuō)，我們?cè)?0年代發(fā)現(xiàn)了生物的高分子結(jié)構(gòu)，是一種螺旋結(jié)構(gòu)，雙螺旋結(jié)構(gòu)就是它的較分子是兩個(gè)分子鏈在里面相互纏繞，這叫雙螺旋結(jié)構(gòu)，那么，從數(shù)學(xué)來(lái)講，就是兩個(gè)封閉的曲線，或者叫無(wú)窮的曲線它怎么相互傳導(dǎo)，這種正好在拓?fù)鋵W(xué)里面有個(gè)分支叫做紐結(jié)理論，就是專門(mén)來(lái)研究繩結(jié)的理論的。兩根繩子，或者幾根繩子相互纏繞，打結(jié)，那么它纏繞的情況不一樣就會(huì)影響到分子生物學(xué)的特性所以它就很重要，這個(gè)正好拓?fù)鋵W(xué)里面有一個(gè)分支叫做紐結(jié)理論就是專門(mén)研究這種東西的。那么所以，后來(lái)有一些數(shù)學(xué)家也參與了就是說(shuō)，用紐結(jié)論的方法來(lái)計(jì)算高分子鏈就相當(dāng)于兩根曲線，它們相互纏繞的所謂纏繞數(shù)，這樣一些拓?fù)鋵W(xué)的指標(biāo)，那么，得到了這些數(shù)字，就可以對(duì)高分子的結(jié)構(gòu)，有一些認(rèn)識(shí)。從而也就可以對(duì)高分子的性質(zhì)有一些認(rèn)識(shí)，這就是非常抽象拓?fù)鋵W(xué)在生物學(xué)里面也是有廣泛的應(yīng)用的。
這是就我說(shuō)的純粹數(shù)學(xué)，幾乎所有的分支都獲得了應(yīng)用。包括一些最抽象的分支。
第三個(gè)，就是說(shuō)，20世紀(jì)數(shù)學(xué)空間廣泛應(yīng)用的特點(diǎn)就是說(shuō)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用便的越來(lái)越直接，我說(shuō)的是直接，我剛才講了，數(shù)學(xué)的應(yīng)用，有的時(shí)候要拐彎抹角的，是曲折的不一定說(shuō)你今天發(fā)明了明天就有用，那么這種應(yīng)用呢？在20世紀(jì)，應(yīng)用的頻率跟周期是越來(lái)越短，應(yīng)該承認(rèn)這一點(diǎn)。就是說(shuō),比方說(shuō)我舉幾個(gè)例子，剛才講的拉東積分它很快地就被用到了CT掃描儀里面，那么我想還有小波分析，也是近代最近多少年在調(diào)和分析基礎(chǔ)上發(fā)明起來(lái)的，它集合一發(fā)明，人們就發(fā)現(xiàn)，小波分析在通訊，還有計(jì)算機(jī)圖象壓縮，什么這些里邊有很重要的應(yīng)用，它是一種分析，數(shù)據(jù)分析，還有在石油勘探里面也有廣泛的應(yīng)用。那么，我這兒就是說(shuō)幾個(gè)對(duì)比，來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)應(yīng)用周期的縮短，當(dāng)然這個(gè)例子大家可以舉出說(shuō)，你這個(gè)可能會(huì)有很多反應(yīng)，但是我想多多少少能說(shuō)明問(wèn)題我說(shuō)一下
我們知道，圓錐曲線是在公元前4世紀(jì)，希臘人就已經(jīng)發(fā)明了，圓錐曲線，橢圓，雙曲線，拋物線，但是，這個(gè)圓錐曲線在2000年當(dāng)中，應(yīng)該說(shuō)是沒(méi)有什么太多的用處。沒(méi)有什么太多用處的它的最重要的應(yīng)用是到了17世紀(jì)，開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)了行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，三大定律，就發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓，也就是說(shuō)是橢圓曲線當(dāng)中的一種是橢圓。那么后來(lái)，牛頓從數(shù)學(xué)上證明了在這樣一個(gè)引力的定律之下，在他的牛頓三大力學(xué)的定律之下，退出來(lái)的行星的軌道，必然是一個(gè)橢圓，而且對(duì)橢圓曲線用微積分的辦法做了很多研究，所以，橢圓曲線一直到2000年以后，應(yīng)該說(shuō)才知道找到了它的重要的應(yīng)用。
那么非歐幾何是1830年左右發(fā)明的。就算用到廣義相對(duì)論里面是1915年差不多一個(gè)世紀(jì)不到。而麥克斯韋方程，我們知道是1864年發(fā)明的，1864年英國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家，發(fā)現(xiàn)了描寫(xiě)電磁波理論的麥克斯韋方程，根據(jù)這個(gè)方程，他預(yù)報(bào)，有一種波存在就是電磁波，電磁波當(dāng)時(shí)是不存在的不知道。那么，麥克斯韋是根據(jù)他這一套抽象的數(shù)學(xué)方程預(yù)報(bào)，預(yù)言我們自然界存在這樣一種看不見(jiàn)的電磁波，到了1895年，這個(gè)中間不到半個(gè)世紀(jì)就30年多一點(diǎn)吧，這個(gè)馬可尼跟波波夫，當(dāng)然他們之間有一些爭(zhēng)論，到底誰(shuí)是發(fā)明人，但是，差不多時(shí)候吧1895年，他們發(fā)明了第一個(gè)無(wú)線電報(bào)，就是真正找到了麥克斯韋根據(jù)他的數(shù)學(xué)方程預(yù)言的這樣一個(gè)電磁波而且把它變成了無(wú)線電報(bào)，這中間是30多年。
還有剛才講的無(wú)窮維的希爾伯特空間理論，用到量子力學(xué)跟光譜理論里面,我們知道，希爾伯特空間理論是1912年提出來(lái)的，量子力學(xué)的完成是1927年，這也是很快就找到應(yīng)用這么抽象的東西，拉東積分是1913年我剛才講的用到CT掃描里面是1963年到1969年，我想，大概數(shù)學(xué)在實(shí)際當(dāng)中的應(yīng)用，這個(gè)生產(chǎn)當(dāng)
中的應(yīng)用它會(huì)越來(lái)越直接。頻率會(huì)越來(lái)越快，這個(gè)我想是一個(gè)趨勢(shì)。還有最后一個(gè)特性，數(shù)學(xué)在向外滲透過(guò)程當(dāng)中，產(chǎn)生一些相對(duì)獨(dú)立的應(yīng)用學(xué)科這些學(xué)科它并不是像生物數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)物理一樣，數(shù)學(xué)光是應(yīng)用到物理里邊，光是應(yīng)用到生物里邊這種獨(dú)立的學(xué)科，比方有數(shù)理統(tǒng)計(jì)，運(yùn)籌學(xué)，控制論，可以舉出一些來(lái)，剛剛講的這三個(gè)是最重要的。那么這些學(xué)科它有自己獨(dú)立的方法，數(shù)學(xué)方法，它應(yīng)用的范圍也不光是一個(gè)學(xué)科它可以比較廣泛。
那么這三個(gè)學(xué)科的發(fā)展我就具體不講，這個(gè)沒(méi)有時(shí)間講，我特別講講控制論，控制論是在二次大戰(zhàn)的時(shí)候，為了解決打飛機(jī)，這樣一個(gè)問(wèn)題，用高射炮,或者我們今天就是導(dǎo)彈打飛機(jī)，我們知道飛機(jī)在天上飛，我們可以算它的位置,但是我算出它某一個(gè)時(shí)刻，T時(shí)刻的位置以后，比方T1時(shí)刻的位置，我地上的
炮彈或者導(dǎo)彈，我不能就打一個(gè)炮彈，打到T1這個(gè)位置，這個(gè)飛機(jī)還在往前動(dòng),所以我需要預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)這個(gè)飛機(jī)的位置。在下幾個(gè)時(shí)刻的位置，然后使得我的炮彈調(diào)整一個(gè)發(fā)射的角度，使得我們炮彈跟飛機(jī)在某一個(gè)時(shí)刻能夠在天上同一個(gè)地點(diǎn)，同一個(gè)位置上面相遇，這樣才能打到它。這個(gè)所謂預(yù)報(bào)問(wèn)題成為控制論的一個(gè)主要來(lái)源。它的主要發(fā)明人奠基人是美國(guó)數(shù)學(xué)家維納，諾伯特維納。
今天這個(gè)控制論用處就非常廣泛了，講到控制論，我想中國(guó)人也有貢獻(xiàn)的�？刂普摰膭�(chuàng)業(yè)，就是說(shuō)，維納他在創(chuàng)立控制論前夕，在中國(guó)，1936年，呆過(guò)一年，在清華大學(xué)。他后來(lái)寫(xiě)了一本自傳，他把他在清華大學(xué)呆的這一天，說(shuō)成是對(duì)他的控制論的創(chuàng)造有非常重要作用的一年，這一年當(dāng)中，他跟很多中國(guó)數(shù)學(xué)家交談過(guò)，也跟其中一個(gè)中國(guó)的工程師，叫做李郁榮他們密切或作，后來(lái)第二次世界大戰(zhàn)以后，李郁榮因?yàn)樵谏虾Ｋ浅＠щy，抗戰(zhàn)的時(shí)候，維納又把他請(qǐng)到德國(guó)，在麻省理工學(xué)院做教授。他應(yīng)該說(shuō)在控制論的發(fā)明當(dāng)中，也起了一些作用，我剛才講的是數(shù)學(xué)的空前的廣泛的應(yīng)用。在20世紀(jì)一個(gè)很重要的四大特點(diǎn)。
李文林， 男，1942年5月出生，江蘇常州人，曾任中科院數(shù)學(xué)研究所副所長(zhǎng)，現(xiàn)任中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員、博士生導(dǎo)師，西北大學(xué)教授，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)史專家。
科學(xué)研究：
榮譽(yù)獎(jiǎng)勵(lì)：
