項(xiàng)目簡介：  

本項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)科學(xué)中的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。主要研究內(nèi)容包括：1. 建立Hamilton系統(tǒng)一般共振情形下的KAM理論，證明了關(guān)于動(dòng)力學(xué)基本問題的一個(gè)重要猜測(cè)；2. 建立廣義Hamilton系統(tǒng)不變環(huán)面的保持性理論和有效穩(wěn)定性結(jié)果。

研究成果的重要科學(xué)價(jià)值在于：

1. 著名的KAM理論回答了非共振情形下大多數(shù)動(dòng)力學(xué)的基本問題，而對(duì)共振情形并不能從中得出什么結(jié)論。關(guān)于共振情形KAM理論的成果，直接斷定了共振情形可積系統(tǒng)的大多數(shù)擬周期軌道在小攝動(dòng)之下仍能保持下來，從而可以作為經(jīng)典KAM理論的一個(gè)補(bǔ)充；2. 對(duì)廣義Hamilton系統(tǒng)，能否有類似于KAM型結(jié)論？有些學(xué)者認(rèn)為是"challenging problem"，具有重要的科學(xué)意義。關(guān)于廣義Hamilton系統(tǒng)不變環(huán)面保持性的工作，對(duì)這一問題給出了比較完整的回答。上述工作引起一定的反響。著名數(shù)學(xué)家Sevryuk、Broer、de la Llave和Allgower等認(rèn)為這些工作是重要的：發(fā)現(xiàn)了一類新的(Atropic)不變環(huán)面，完善了不變環(huán)面的分類；在共振環(huán)面的保持性理論方面獲得的結(jié)果對(duì)共振情形的動(dòng)力學(xué)基本問題給出了完整的刻畫，等等。他們?cè)谝恍┲匾獙W(xué)術(shù)雜志、專著以及評(píng)論中對(duì)上述工作給予了很高的評(píng)價(jià)，他們對(duì)上述工作的評(píng)價(jià)中使用了"complete picture"，"landmark paper"，"verify a conjecture"，"substantial papers"，"important paper"，"the most important"， "essential"，"key contributation"，"first observed"，"new and pormising branch"等詞語。項(xiàng)目組成員發(fā)表論文50余篇，1999年以來10篇代表性論文他人引用36次，SCI他人引用18次。這些工作多次被項(xiàng)目組成員及其合作者在重要國際學(xué)術(shù)會(huì)議，如有百年歷史的EQUADIFF(2003)，上做大會(huì)報(bào)告。先后承擔(dān)了包括國家973計(jì)劃、國家杰出青年科學(xué)基金、海外青年學(xué)者合作研究基金、國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目、國家自然科學(xué)基金和教育部跨世紀(jì)優(yōu)秀人才資助計(jì)劃等在內(nèi)的多項(xiàng)科研項(xiàng)目。

主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)：

1. 對(duì)共振情形的動(dòng)力學(xué)基本問題給出了肯定的回答，解決了這一研究領(lǐng)域的一個(gè)重要猜測(cè)，證明了在通常的非退化條件下，可積系統(tǒng)的各種類型(尤其是橢圓和混合型)的共振環(huán)面大多數(shù)在小攝動(dòng)之下保持下來(微分動(dòng)力系統(tǒng)，支持該發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的代表性論文是[1]，[2]，[7])；

2. 建立了廣義Hamilton系統(tǒng)不變環(huán)面的保持性理論，對(duì)具有退化性(包括奇數(shù)維)Poisson結(jié)構(gòu)的廣義Hamilton系統(tǒng)給出了KAM型結(jié)果(微分動(dòng)力系統(tǒng)，支持該發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的代表性論文是[3]，[4]，[9]，[10])

3. 找到了一種新的不變環(huán)面，被國外學(xué)者命名為"atropic invariant tori"。這一結(jié)果被認(rèn)為是過去10多年KAM理論研究中最重要，同時(shí)也是很少理解的結(jié)果(微分動(dòng)力系統(tǒng)，支持該發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的代表性論文是[3])；

4. 首次給出了廣義Hamilton系統(tǒng)的有效穩(wěn)定性結(jié)果，拓廣了有效穩(wěn)定性理論的應(yīng)用范圍(微分動(dòng)力系統(tǒng)；非線性常微分方程，支持該發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的代表性論文是[8])；

5. 建立擬線性或修正的KAM迭代格式，以克服微分結(jié)構(gòu)的變化以及作用-角變量的個(gè)數(shù)的不同所帶來的復(fù)雜性，使得KAM迭代方法能適合具有一般法形結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)；提出了部分頻率比保持的概念(微分動(dòng)力系統(tǒng)，支持該發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的代表性論文是[2]，[5]，[9])；

6. 給出了Poincaré-Birkhoff扭轉(zhuǎn)定理的構(gòu)造性證明，為求二維哈密頓系統(tǒng)的周期解提供了大范圍收斂性方法(非線性常微分方程，支持該發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的代表性論文是[6])。

主要完成人：

1.  李勇

作為本項(xiàng)目總負(fù)責(zé)人，全面負(fù)責(zé)本項(xiàng)目研究的總體學(xué)術(shù)思想的構(gòu)想和關(guān)鍵技術(shù)的設(shè)計(jì)，組織研究方案的擬訂和研究工作的全面展開。

對(duì)本項(xiàng)目的發(fā)現(xiàn)點(diǎn)1、2、3、4、5、6做出重要的貢獻(xiàn)。

投入該項(xiàng)目的科研工作量占自己總工作量的80%。

支持本人貢獻(xiàn)的論文是10篇代表性論文。

2.  從福仲

本人對(duì)項(xiàng)目的第1、2、3、4發(fā)現(xiàn)點(diǎn)做出貢獻(xiàn)。

投入該項(xiàng)目的科研工作量占自己總工作量的80%。

支持本人貢獻(xiàn)的論文是10篇代表性論文中的[1]、[3]、[8]。

3.  史少云

本人對(duì)項(xiàng)目的第1發(fā)現(xiàn)點(diǎn)做出貢獻(xiàn)。

投入該項(xiàng)目的科研工作量占自己總工作量的80%。

支持本人貢獻(xiàn)的論文是10篇代表性論文中的[7]。

4.  黃慶道

本人對(duì)項(xiàng)目的第3發(fā)現(xiàn)點(diǎn)做出貢獻(xiàn)。

投入該項(xiàng)目的科研工作量占自己總工作量的80%。

支持本人貢獻(xiàn)的論文是10篇代表性論文中的[3]。

10篇代表性論文：

1.   KAM-type theorem on resonant surfaces for nearly integrable Hamiltonian systems /J. Nonlinear Sci.

2.   A quasiperiodic Poincaré theorem / Math. Ann.

3.   Persistence of hyperbolic invariant tori for Hamiltonian systems / J. Differential Equations

4.   Persistence of invariant tori for generalized Hamiltonian systems / Ergod. Th & Dyn. Sys.

5.   Persistence of invariant tori on submanifolds in Hamiltonian systems / J. Nonlinear Sci.

6.   A constructive proof of the Poincaré-Birkhoff theorem / Trans. Amer. Math. Soc.

7.   Partial integrability for general nonlinear systems / Z. Angew. Math. Phys.

8.   Effective stability for generalized Hamiltonian systems/Science in China Ser. A Mathematics

9.   Persistence of lower dimensional tori of general types in Hamiltonian systems / Trans. Amer. Math. Soc.

10.  Persistence of hyperbolic tori in Hamiltonian systems / J. Differential Equations