項目名稱： 廣義Hamilton系統(tǒng)的KAM理論

推薦單位： 教育部

項目簡介： 本項目屬于基礎(chǔ)科學(xué)中的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。

主要研究內(nèi)容包括：1. 建立Hamilton系統(tǒng)一般共振情形下的KAM理論，證明了關(guān)于動力學(xué)基本問題的一個重要猜測；2. 建立廣義Hamilton系統(tǒng)不變環(huán)面的保持性理論和有效穩(wěn)定性結(jié)果。研究成果的重要科學(xué)價值在于：1. 著名的KAM理論回答了非共振情形下大多數(shù)動力學(xué)的基本問題，而對共振情形并不能從中得出什么結(jié)論。關(guān)于共振情形KAM理論的成果，直接斷定了共振情形可積系統(tǒng)的大多數(shù)擬周期軌道在小攝動之下仍能保持下來，從而可以作為經(jīng)典KAM理論的一個補充；2. 對廣義Hamilton系統(tǒng)，能否有類似于KAM型結(jié)論？有些學(xué)者認為是"challenging problem"，具有重要的科學(xué)意義。關(guān)于廣義Hamilton系統(tǒng)不變環(huán)面保持性的工作，對這一問題給出了比較完整的回答。上述工作引起一定的反響。著名數(shù)學(xué)家Sevryuk、Broer、de la Llave和Allgower等認為這些工作是重要的：發(fā)現(xiàn)了一類新的(Atropic)不變環(huán)面，完善了不變環(huán)面的分類；在共振環(huán)面的保持性理論方面獲得的結(jié)果對共振情形的動力學(xué)基本問題給出了完整的刻畫，等等。他們在一些重要學(xué)術(shù)雜志、專著以及評論中對上述工作給予了很高的評價，他們對上述工作的評價中使用了"complete picture"，"landmark paper"，"verify a conjecture"，"substantial papers"，"important paper"，"the most important"， "essential"，"key contributation"，"first observed"，"new and pormising branch"等詞語。

本項目發(fā)表SCI論文55篇，10篇代表性論文他人引用43次，SCI他人引用19次。這些工作多次被項目組成員及其合作者在重要國際學(xué)術(shù)會議，如有百年歷史的EQUADIFF(2003)上做大會報告。2006年獲得教育部自然科學(xué)一等獎。

主要發(fā)現(xiàn)點： 1、 核心發(fā)現(xiàn)點

1) 對共振情形的動力學(xué)基本問題給出了肯定的回答，解決了這一研究領(lǐng)域的一個重要猜測，證明了在通常的非退化條件下，可積系統(tǒng)的各種類型(尤其是橢圓和混合型)的共振環(huán)面大多數(shù)在小攝動之下保持下來(微分動力系統(tǒng)，支持該發(fā)現(xiàn)點的代表性論文是[1]，[2]，[9]，[10])；

2) 建立了廣義Hamilton系統(tǒng)不變環(huán)面的保持性理論，對具有退化性(包括奇數(shù)維)Poisson結(jié)構(gòu)的廣義Hamilton系統(tǒng)給出了KAM型結(jié)果；給出了廣義Hamilton系統(tǒng)的有效穩(wěn)定性結(jié)果，拓廣了有效穩(wěn)定性理論的應(yīng)用范圍(微分動力系統(tǒng)，支持該發(fā)現(xiàn)點的代表性論文是[3]，[6]，[7]，[8])；

3) 找到了一種新的不變環(huán)面，被國外學(xué)者命名為"atropic invariant tori"。這一結(jié)果被認為是過去10多年KAM理論研究中最重要，同時也是很少理解的結(jié)果(微分動力系統(tǒng)，支持該發(fā)現(xiàn)點的代表性論文是[6])；

2、其他重要發(fā)現(xiàn)點

1) 建立擬線性或修正的KAM迭代格式，以克服微分結(jié)構(gòu)的變化以及作用-角變量的個數(shù)的不同所帶來的復(fù)雜性，使得KAM迭代方法能適合具有一般法形結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)；提出了部分頻率比保持的概念(微分動力系統(tǒng)，支持該發(fā)現(xiàn)點的代表性論文是[2]，[4]，[7])；

2) 給出了Poincaré-Birkhoff扭轉(zhuǎn)定理的構(gòu)造性證明，為求二維哈密頓系統(tǒng)的周期解提供了大范圍收斂性方法(非線性常微分方程，支持該發(fā)現(xiàn)點的代表性論文是[5])。

主要完成人： 李勇

作為本項目總負責(zé)人，全面負責(zé)本項目研究的總體學(xué)術(shù)思想的構(gòu)想和關(guān)鍵技術(shù)的設(shè)計，組織研究方案的擬訂和研究工作的全面展開。

對本項目的核心發(fā)現(xiàn)點1)，2)，3)和重要發(fā)現(xiàn)點1)，2)做出重要的貢獻。

投入該項目的科研工作量占自己總工作量的80%。

支持本人貢獻的論文是10篇代表性論文。

從福仲

本人對項目核心發(fā)現(xiàn)點的1)、2)、3)做出貢獻。

投入該項目的科研工作量占自己總工作量的80%。

支持本人貢獻的論文是10篇代表性論文中的[1]、[6]。

史少云

本人對項目核心發(fā)現(xiàn)點1)做出貢獻。

投入該項目的科研工作量占自己總工作量的80%。

支持本人貢獻的論文是10篇代表性論文中的[9]。

黃慶道

本人對項目核心發(fā)現(xiàn)點2)、3)做出貢獻。

投入該項目的科研工作量占自己總工作量的80%。

支持本人貢獻的論文是10篇代表性論文中的[6]。

韓月才

本人對項目核心發(fā)現(xiàn)點1)做出貢獻。

投入該項目的科研工作量占自己總工作量的80%。

支持本人貢獻的論文是10篇代表性論文中的[10]。