項(xiàng)目名稱： 人工邊界方法與偏微分方程數(shù)值解

推薦單位： 中國(guó)科學(xué)院

項(xiàng)目簡(jiǎn)介：

本項(xiàng)目屬于計(jì)算數(shù)學(xué)和科學(xué)計(jì)算研究領(lǐng)域，該領(lǐng)域的核心是偏微分方程數(shù)值解。本項(xiàng)目特別研究有廣泛應(yīng)用背景的無界區(qū)域偏微分方程的數(shù)值解。區(qū)域無界帶來的本質(zhì)困難使已有的許多計(jì)算方法難以滿足需要。本項(xiàng)目提出并發(fā)展了適于求解該類問題的人工邊界法、自然邊界元法及相關(guān)計(jì)算方法，建立了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，取得了一系列首創(chuàng)的研究成果。

本項(xiàng)目由余德浩、韓厚德共同完成。主要研究成果有：系統(tǒng)發(fā)展了求解各類問題的自然邊界元方法，特別對(duì)橢圓型偏微分方程得到了相當(dāng)完整的結(jié)果；發(fā)展了各類人工邊界方法，給出了一系列高精度的人工邊界條件，并應(yīng)用于科學(xué)和工程計(jì)算的許多領(lǐng)域；提出了邊界元與有限元的對(duì)稱直接耦合法；建立了自適應(yīng)邊界元的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等。此外在超奇異積分計(jì)算，無界區(qū)域分解算法，低階四邊形非協(xié)調(diào)元的構(gòu)造和應(yīng)用，矩形網(wǎng)格下雙p次有限元的漸近準(zhǔn)確后驗(yàn)局部誤差估計(jì)，邊界積分--微分方程的數(shù)值解，變分不等式問題的邊界元法、奇異攝動(dòng)問題的數(shù)值方法等相關(guān)方面也有首創(chuàng)的研究成果。曾獨(dú)立獲得中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)，作為第一完成人獲得國(guó)家教委科技進(jìn)步一等獎(jiǎng)等多項(xiàng)科技獎(jiǎng)勵(lì)。

本項(xiàng)目凝聚了項(xiàng)目完成人近三十年的研究工作, 包括出版專著中、英文版及發(fā)表學(xué)術(shù)論文160余篇，其中被SCI收錄101篇。論著被他人引用987次，其中SCI他引685次，CSCD他引236次，國(guó)內(nèi)外專著他引66次。本方向一些重要專著列專章引述。開創(chuàng)性工作經(jīng)受了長(zhǎng)時(shí)間考驗(yàn)，獲得國(guó)內(nèi)外同行廣泛引用和高度評(píng)價(jià)，引發(fā)了大量后繼工作，并在科學(xué)和工程許多領(lǐng)域的計(jì)算中獲得成功應(yīng)用。美、德、日等國(guó)著名專家評(píng)述該成果為"邊界元中國(guó)學(xué)派的標(biāo)志"，"該方向最值得注意的論文"，"有限元與邊界元耦合的兩個(gè)基本方法之一"，指出余和韓"應(yīng)作為DtN方法的創(chuàng)立者被提到"。美國(guó)Keller學(xué)派在公開書評(píng)中承認(rèn)他們隨后發(fā)展了"類似"方法，表示因"中國(guó)學(xué)者的工作長(zhǎng)期不為西方所知"，故他們"在西方獨(dú)立發(fā)展了DtN方法"。

主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)：

1. 核心發(fā)現(xiàn)點(diǎn) 

首創(chuàng)與經(jīng)典邊界元法完全不同并有許多獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)的自然邊界元法和人工邊界方法，提出了與有限元自然直接耦合的對(duì)稱算法，應(yīng)用人工邊界上的自然積分算子將無界區(qū)域問題簡(jiǎn)化為有界區(qū)域問題，并保持與有界區(qū)域有限元法相同的計(jì)算精度。(偏微分方程數(shù)值解，積分方程數(shù)值解，代表性論著[1,2,3,4])

2. 其他重要發(fā)現(xiàn)點(diǎn) 

(1)自然邊界積分算子正是人工邊界上的準(zhǔn)確的邊界條件，基于此系統(tǒng)發(fā)展了適于求解無界區(qū)域偏微分方程問題的人工邊界方法，并針對(duì)多種重要的應(yīng)用問題設(shè)計(jì)出一系列高精度的整體人工邊界條件、局部人工邊界條件和離散的人工邊界條件，將無界區(qū)域上的問題簡(jiǎn)化為帶近似人工邊界的有界區(qū)域問題進(jìn)行數(shù)值求解。(偏微分方程數(shù)值解，積分方程數(shù)值解，代表性論著[1,2,4,9]) 

(2)首次提出了積分核級(jí)數(shù)展開法等超奇異積分的計(jì)算方法，巧妙地解決了邊界元法中超奇異積分計(jì)算及超奇異積分方程的求解問題；提出了無界區(qū)域的區(qū)域分解算法，更便于計(jì)算。(偏微分方程數(shù)值解，積分方程數(shù)值解，代表性論著[1])

(3)首次給出了矩形網(wǎng)格下任意雙p次有限元的漸近準(zhǔn)確后驗(yàn)局部誤差估計(jì)，指出雙偶次元與雙奇次元誤差估計(jì)的本質(zhì)差別，這些結(jié)果當(dāng)時(shí)就被作為美國(guó)馬里蘭大學(xué)自適應(yīng)有限元軟件的編制依據(jù)；最早提出以超奇異剩余作邊界元后驗(yàn)誤差估計(jì)，首次建立了自適應(yīng)邊界元方法的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。(偏微分方程數(shù)值解，積分方程數(shù)值解，代表性論著[6,8,10])

(4)給出了以四邊形邊的中點(diǎn)和中心為節(jié)點(diǎn)的一種低階四邊形非協(xié)調(diào)單元，并將它應(yīng)用于Stokes問題，Navier-Stokes問題的有限元數(shù)值模擬，得到了有限元解的誤差估計(jì)。在邊界積分-微分方程，變分不等式問題，不適定問題和奇異攝動(dòng)問題的數(shù)值解方面也得到了重要的研究成果。(偏微分方程數(shù)值解，積分方程數(shù)值解，代表性論著[5,7])

主要完成人： 余德浩

本人對(duì)項(xiàng)目核心發(fā)現(xiàn)點(diǎn)及重要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)1－3均做出創(chuàng)造性貢獻(xiàn)，包括：系統(tǒng)發(fā)展自然邊界元法和人工邊界法，得到一系列典型問題的自然積分方程，進(jìn)行深刻的理論分析；首次提出積分核級(jí)數(shù)展開法等超奇異積分的計(jì)算方法，克服超奇異積分的計(jì)算困難；首先提出邊界元與有限元自然直接耦合法及無界區(qū)域分解算法；推導(dǎo)出各階精度的整體及局部人工邊界條件，得到近似人工邊界法的誤差估計(jì)；首次給出矩形網(wǎng)格下雙p次有限元漸近準(zhǔn)確后驗(yàn)誤差估計(jì)；首次建立自適應(yīng)邊界元嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提出以超奇異剩余作邊界元后驗(yàn)誤差估計(jì)。

本人近30年的研究工作均圍繞本項(xiàng)目進(jìn)行，在該項(xiàng)研究的工作量占本人科研工作量90％以上。代表性論著為[1,4,6,8,10]。

韓厚德

本人對(duì)本項(xiàng)目核心發(fā)現(xiàn)點(diǎn)和其他重要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)1及4均做出創(chuàng)造性貢獻(xiàn)，包括：系統(tǒng)發(fā)展求解無界區(qū)域問題的自然邊界元法和人工邊界法，得到各階精度的整體、局部和離散人工邊界條件；建立該方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，給出精細(xì)的誤差估計(jì)；提出有限元與邊界元的對(duì)稱耦合方法，給出人工邊界上的隱式邊界條件，適用于任意形狀的人工邊界；給出該耦合數(shù)值解的最優(yōu)誤差估計(jì)；在低階四邊形非協(xié)調(diào)有限元構(gòu)造，邊界積分-微分方程、變分不等式問題、不適定問題和奇異攝動(dòng)問題的數(shù)值解等相關(guān)領(lǐng)域取得一系列創(chuàng)造性成果。

本人近30年的研究工作均圍繞本項(xiàng)目進(jìn)行，在該項(xiàng)研究的工作量占本人科研工作量90％以上。代表性論著為[2,3,5,7,9]。